Base dell'immagine di f

[gaten]

Se ho un applicazione lineare $ f: R^3->R^4 $ tale che:
$ f((1,0,1))=(0,1,1,1), f((0,1,-1))=(2,-1,0,0), f((1,1,-1))=(0,0,0,0) $

Per calcolare una base dell'Imf come faccio?

Io ho proceduto in questo modo:

Ho ricavato la matrice associata dall'applicazione lineare che dovrebbe essere la seguente(me lo confermate?)

$ ( (0, 2, 0), (1, -1, 0), (1, 0, 0), (1, 0, 0) ) $

Adesso ho usato l'eliminazione di gauss e ho ottenuto la seguente matrice:

$ ( (1,-1,0), (0,2,0), (0,0,0) ) $ Questa matrice ha rango due e le colonne sulle quali compaiono i pivot, costituiscono una base dell'Imf quindi:

(0,1,1,1), (2,-1,0,0) costituiscono una base .

Per la base del nucleo ho risolto il sistema omogeneo associato

ottenendo come insieme di soluzioni:

{(0,0,2) \ z app R} (z essendo variabile libera assume qualsiasi valore in questo caso 2)

In definitiva:

$ dimV=dimImgf + dimKerf $

[Sk_Anonymous]

Io non vedo errori ...

[gaten]

Il mio dubbio era legato principalmente alla matrice associata della f...(ad esempio perchè vanno nesse in colonna le immagini dei vettori?)
Ad esempio se avessi dovuto trovare la base del nucleo, con dimensione 2, io calcolavo le soluzioni del sistema omogeneo associato, ma come prendevo due vettori per costituire la base del nucleo?

[Sk_Anonymous]

"gaten":Il mio dubbio era legato principalmente alla matrice associata della f...(ad esempio perchè vanno nesse in colonna le immagini dei vettori?)

Per una generica funzione sapere le immagini di certi valori non serve a nulla. Per esempio se io so che $f(0)=1$ e $f(1)=3$ non posso dire nulla su $f(2)$.
Se invece l'applicazione è lineare, sapendo le immagini dei vettori di una base del dominio hai descritto completamente l'applicazione. Per esempio ho un'applicazione lineare [tex]f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] per la quale $f(1)=3$. Ma allora $f(456) = f(456*1) = 456 * f(1)=456 * 3$.

Ora prova a calcolare l'immagine di un vettore generico di una applicazione lineare generica con questo metodo e con il metodo della matrice associata all'aplicazione. Se vengono uguali il metodo della matrice è esatto.

EDIT: Puoi dimostrare anche il seguente teorema: fissate le immagini di tutti i vettori di una base di uno spazio vettoriale, l'applicazione lineare associata è unica.

Ad esempio se avessi dovuto trovare la base del nucleo, con dimensione 2, io calcolavo le soluzioni del sistema omogeneo associato, ma come prendevo due vettori per costituire la base del nucleo?

Se il sistema ha una sola soluzione, è quella banale (perchè il sistema è omogeneo), quindi il nucleo ha dimensione 0. Se le soluzioni sono infinite, le scrivi come combinazioni lineari di certi parametri (nel tuo esempio 2) e prendi questi parametri come vuoi: otterrai sempre vettori indipendenti che generano tutto lo spazio delle soluzioni (e quindi, per come è costruito il sistema, del nucleo). Ricordo (mi scuserai se già lo sai) che un sistema lineare o non ha soluzioni, o ha 1 sola soluzione (ovvero una n-pla che è soluzione) oppure ha infinite soluzioni. Non esistono applicazioni lineari che hanno 2,3,15,18 o 24 soluzioni.

[gaten]

Nel mio caso il nucleo ha dimensione 1, perchè la dimensione dell'immagine è 2!

[Sk_Anonymous]

"gaten":Nel mio caso il nucleo ha dimensione 1, perchè la dimensione dell'immagine è 2!

Mi riferivo all'esempio del secondo post, quello che ho quotato, dove volevi trovare la base di un nucleo con dimensione 2.