Base

[andrew.9]

Dati i sottoinsiemi: $H=L{(1,0,1,1),(2,1,0,1),(1,0,0,0)}$ e $K={(x,y,-x,t)|x,y,t∈ RR^4}$ si calcoli una base per $H+K$.
Ora vorrei sapere se $H+K={(1+x,y,1-x,1+t)(2+x,1+y,-x,1+t)(1+x,y,-x,t)}$ è corretta e se così fosse la base per $H+K$ è ${(1+x,y,1-x,1+t)(2+x,1+y,-x,1+t)(1+x,y,-x,t)}$ se ${(1+x,y,1-x,1+t)(2+x,1+y,-x,1+t)(1+x,y,-x,t)}$ sono linearmente indipendenti?

[_prime_number]

A me quelli non sembrano affatto vettori. Stai confondendo un sacco di cose.
Per prima cosa ricava una base per $K$, poi ne parliamo.

Paola

[andrew.9]

Ecco una base per K: ${(1,0,-1,0)(0,1,0,0)(0,0,0,1)}$

[_prime_number]

Ok.
Ora, considera che $H+K$ è definito come $\{v+w : v\in H, w\in K\}$
Se chiamo $\{a_1,a_2,a_3\}$ la base (che tu hai esplicita) di $H$ e con $\{b_1,b_2,b_3\}$ quella di $K$, vedo dalla definizione precedente che
$H+K=\{(\lambda_1 a_1 +\lambda_2 a_2+\lambda_3 a_3) + (\mu_1 b_1 +\mu_2 b_2 + \mu_3 b_3), \lambda_i,\mu_i\in\mathbb{R}\}$
dunque un insieme di generatori di $H+K$ è l'unione delle basi di $H$ e di $K$.
Per ricavare una base di $H+K$ metti tutti i vettori come righe di una matrice e calcolane il rango $M$, dopo di che usa le $M$ righe che hai utilizzato per calcolare il rango come base.

Paola

[andrew.9]

Quindi la matrice è: $((1,0,1,0),(2,1,0,1),(1,0,0,0),(1,0,-1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1))$. il rango è $1<=v(M)<=4$ ed è 4, perché ho considerato il minore di ordine 4 $((1,0,0,0),(1,0,-1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1))$ e il suo determinante è -1. Quindi la base è

$B(H+K)={(1,0,0,0),(1,0,-1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)}$

[_prime_number]

Esatto. Ti faccio notare che dunque $H+K$ è necessariamente $\mathbb{R}^4$ vista la sua dimensione.

Paola

[andrew.9]

Grazie