Azione di gruppo $S^(2n+1)//S^1$ (Parte Seconda)

[cl.mazzella]

Riprendendo da qui:

"megas_archon":\(S^{2n+1}/S^1\cong \mathbb{CP}^n\), che è chiaramente T2.

Come si può dimostrare che \(S^{2n+1}/S^1\cong \mathbb{CP}^n\)?

[j18eos]

Suggerimento: costruisci un'applicazione suriettiva \(\mathbb{S}^{2n+1}\to\mathbb{P}^n_{\mathbb{C}}\).

[megas_archon]

Suggerimento ulteriore: dimostra che esiste un quadrato cocartesiano
\[\begin{CD}S^1 @>j>> S^{2n+1} \\
@VVV @VVqV \\
* @>>p_0> \mathbb{CP}^n\end{CD}\] cioè che la composizione \(qj\) è costante nel (=in un) punto base $p_0$ di \(\mathbb{CP}^n\) (definito come al solito, in algebra lineare, e dotato della topologia quoziente), e che ogni altro quadrato commutativo
\[\begin{CD}S^1 @>j>> S^{2n+1} \\
@VVV @VVrV \\
* @>>x_0> X\end{CD}\] fattorizza come
\[\begin{CD}S^1 @>j>> S^{2n+1}@>r>> X \\
@VVV @VVqV @|\\
* @>>p_0> \mathbb{CP}^n @>>\bar r> X\end{CD}\]

[cl.mazzella]

Posso dire che $\mathbb{C}P^n$ è visto come quoziente di $S^{2n+1} = \{(z_0, \cdots, z_n) \in \mathbb{C}^{n+1}| |z_0|^2+ \cdots + |z_n|^2\}$, considerando la relazione di equivalenza
$ x \sim y \iff x= \lambday $
con $|\lambda| =1$, giusto?

[j18eos]

Sì, ma come giustichi questa scelta?

P.S.: sei sulla strada giusta!

[cl.mazzella]

Cercando un po, ho trovato una dimostrazione del fatto che lo spazio proiettivo complesso sia omeomorfo a $S^{2n+1}//S^1$, sfruttando il fatto che $S^{2n+1}//S^1$ è di Hausdorff e che $\mathbb{C}P^n$ è compatto.
É corretto oppure potevo passare per una strada più semplice?

[j18eos]

Ma che ci vuole a costruire la funzione \(f\colon P\in\mathbb{S}^{n+1}\to

\in\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^n\) e dimostrarne la surgettività?

A seguire si calcola l'anti-immagine di un punto proiettivo, e si ottiene il quoziente in questione!

Imponi che questa funzione sia continua, e ti trovi la topologia quoziente sul codominio; e da qui è facile ottenere che anche il codominio (con la topologia quoziente) è compatto Hausdorff (in particolare \(T_4\)).