Autovettori.. esempio non compreso
Ciao a tutti, ho difficoltà a capire questo esempio sulla parte degli autovettori. Aiutatemi a capire. Grazie in anticipo.
Sia $F:RR^2\to RR^2$ rappresentata dalla matrice $A=((-5,-9),(4,7))$ determinare gli autovalori e autovettori.
Bene per quanto riguarda gli autovalori, risolve $det(F- aI_2)=0$
Trovando $a=1$
Ora il testo vuole trovare l'autospazio e risolve il sistema facendo $F(x)=x$ ossia risolve il sistema
${(-5x_1-9x_2=x_1),(4x_1+7x_2=x_2) :}$ dunque $x_1=-3/2 x_2$
Ora per $x_2=2$ troviamo $((-3),(2))$ e dunque il.testo poi scrive $V_1=span\{((-3),(2))\}$
Il testo conclude dicendo che non esiste una base di autovettori.
Allora io dico..perché non esiste? Cioè l'ha appena trovata! No? Non è quella dentro allo Span.. ?
Sia $F:RR^2\to RR^2$ rappresentata dalla matrice $A=((-5,-9),(4,7))$ determinare gli autovalori e autovettori.
Bene per quanto riguarda gli autovalori, risolve $det(F- aI_2)=0$
Trovando $a=1$
Ora il testo vuole trovare l'autospazio e risolve il sistema facendo $F(x)=x$ ossia risolve il sistema
${(-5x_1-9x_2=x_1),(4x_1+7x_2=x_2) :}$ dunque $x_1=-3/2 x_2$
Ora per $x_2=2$ troviamo $((-3),(2))$ e dunque il.testo poi scrive $V_1=span\{((-3),(2))\}$
Il testo conclude dicendo che non esiste una base di autovettori.
Allora io dico..perché non esiste? Cioè l'ha appena trovata! No? Non è quella dentro allo Span.. ?
Risposte
Non esiste perchè ti è venuto che la molteplicità geometrica dell'autovalore $lambda=1$ è minore della molteplicità algebrica.
Infatti la molteplicità geometrica è la dimensione dell'autospazio $V_1$, dunque $1$,
mentre quella algebrica è $2$ (perchè il polinomio caratteristico è $(lambda-1)^2$)
E poi, scusa, molto più semplicemente: una base di $RR^2$ deve essere formata da $2$ vettori, mentre lì ce n'è solo $1$
Infatti la molteplicità geometrica è la dimensione dell'autospazio $V_1$, dunque $1$,
mentre quella algebrica è $2$ (perchè il polinomio caratteristico è $(lambda-1)^2$)
E poi, scusa, molto più semplicemente: una base di $RR^2$ deve essere formata da $2$ vettori, mentre lì ce n'è solo $1$
"Gi8":
Non esiste perchè ti è venuto che la molteplicità geometrica dell'autovalore $lambda=1$ è minore della molteplicità algebrica.
Infatti la molteplicità geometrica è la dimensione dell'autospazio $V_1$, dunque $1$,
mentre quella algebrica è $2$ (perchè il polinomio caratteristico è $(lambda-1)^2$)
E poi, scusa, molto più semplicemente: una base di $RR^2$ deve essere formata da $2$ vettori, mentre lì ce n'è solo $1$
Ah ok grazie! Dovevo contare la molteplicità del polinomio caratteristico. Ok.
Però correggimi se sbaglio.. Non esiste una base di auovettori..perché si giustamente deve essere in questo caso formata da 2 vettori.. Però esiste l'autovettore dell'autovalore $a=1$ esatto? Non posso estrarre una base.ma l'autovettore.c'è esatto?
"21zuclo":Non è che esiste l' autovettore. Ne esistono infiniti. Qualunque vettore del tipo $((-3k),(2k))$ con $k in RR$ è un autovettore relativo all'autovalore $lambda=1$
Però correggimi se sbaglio.. Non esiste una base di auovettori..perché si giustamente deve essere in questo caso formata da 2 vettori.. Però esiste l'autovettore dell'autovalore $a=1$ esatto? Non posso estrarre una base.ma l'autovettore.c'è esatto?
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