Autovettori e forme quadratiche
Ciao a tutti, ho un problema sulle forme quadratiche. Se ho le matrice S = $((2,0,2), (0,1,0), (2,0,5))$ Questa ha 2 autovalori: $\lambda_1 = 1$ con molteplicità doppia, e $\lambda_2 = 6$ con molteplicità 1. (l' autospazio di $\lambda_2$ è (1, 0, 2))
A questo punto mi si chiede di trovare gli autovettori $(x_0, y_0, z_0)$ realtivi a $\lambda_2$ tali che $F(x_0, y_0, z_0) = 6$ (F sarebbe la forma quadratica associata alla matrice S)
Io credevo bastasse prendere un vettore generico $v = (x, y, z)$ e fare $v^t$$((2,0,2), (0,1,0), (2,0,5))$$v$ = 6 Con $v^t$ il vettore trasposto.
Ma le soluzioni danno una soluzione molto diversa, ve la mostro e spero mi possiate auitare a capirla:
Indicato con X (matrice colonna) un (qualsiasi) autovettore di S relativo a $\lambda$, risulta:
F(X) = $X^t$$((2,0,2), (0,1,0), (2,0,5))$$X$ = $X^t$($\lambda$ $X$) = $\lambdaX^tX$ = $\lambda||X^2||$
Nel caso dell'esercizio, $\lambda = 6$. Se si vuole che F(X) = 6, X $in$ $V_6$ deve avere norma 1.
Si ottengono allora i due vettori di $V_6 = 1/sqrt(5)(1, 0, 2)$ e $-1/sqrt(5)(1, 0, 2)$
Ecco.. non capisco proprio il passaggio preliminare in cui si arriva a $\lambda||X^2||$ anzi più precisamente come mai X è al quadrato ..e come sono stati calcolati i 2 vettori ?
Ogni aiuto è molto gradito.. Grazie in anticipo..
A questo punto mi si chiede di trovare gli autovettori $(x_0, y_0, z_0)$ realtivi a $\lambda_2$ tali che $F(x_0, y_0, z_0) = 6$ (F sarebbe la forma quadratica associata alla matrice S)
Io credevo bastasse prendere un vettore generico $v = (x, y, z)$ e fare $v^t$$((2,0,2), (0,1,0), (2,0,5))$$v$ = 6 Con $v^t$ il vettore trasposto.
Ma le soluzioni danno una soluzione molto diversa, ve la mostro e spero mi possiate auitare a capirla:
Indicato con X (matrice colonna) un (qualsiasi) autovettore di S relativo a $\lambda$, risulta:
F(X) = $X^t$$((2,0,2), (0,1,0), (2,0,5))$$X$ = $X^t$($\lambda$ $X$) = $\lambdaX^tX$ = $\lambda||X^2||$
Nel caso dell'esercizio, $\lambda = 6$. Se si vuole che F(X) = 6, X $in$ $V_6$ deve avere norma 1.
Si ottengono allora i due vettori di $V_6 = 1/sqrt(5)(1, 0, 2)$ e $-1/sqrt(5)(1, 0, 2)$
Ecco.. non capisco proprio il passaggio preliminare in cui si arriva a $\lambda||X^2||$ anzi più precisamente come mai X è al quadrato ..e come sono stati calcolati i 2 vettori ?
Ogni aiuto è molto gradito.. Grazie in anticipo..
Risposte
Mi sa che ti sei perso un passaggio. il problema ti chiede di trovare quali sono gli autovettori $X$ associati all'autovalore $6$ tali che $X^t S X=6$. Ora poiché $SX=6X$ (per definizione di autovettore) hai pure
$X^t S X=X^t(6X)=6||X||^2$ in quanto $X^t X$ è un modo matriciale di esprimere il prodotto scalare standard (infatti ti viene fuori la somma dei prodotti componente per componente). A questo punto vuoi un autovettore $X$ tale che $||X||^2=1$ e quindi $||X||=1$. Visto che hai determinato una base di $V_6$ essere pari a $(1, 0, 2)$ ne segue che $X=a(1, 0, 2)$ per qualche $a$ reale. Ma allora, essendo $||X||=\sqrt{a^2(1+0+4)}=|a|\sqrt{5}$ ne segue $|a|\sqrt{5}=1$ e quindi $a=\pm1/\sqrt{5}$.
$X^t S X=X^t(6X)=6||X||^2$ in quanto $X^t X$ è un modo matriciale di esprimere il prodotto scalare standard (infatti ti viene fuori la somma dei prodotti componente per componente). A questo punto vuoi un autovettore $X$ tale che $||X||^2=1$ e quindi $||X||=1$. Visto che hai determinato una base di $V_6$ essere pari a $(1, 0, 2)$ ne segue che $X=a(1, 0, 2)$ per qualche $a$ reale. Ma allora, essendo $||X||=\sqrt{a^2(1+0+4)}=|a|\sqrt{5}$ ne segue $|a|\sqrt{5}=1$ e quindi $a=\pm1/\sqrt{5}$.
ah grazie mille sei stato chiarissimo..
ma se invece avessi avuto una semplice richiesta del tipo: trovare una terna (x, y, z) tale che la forma quadratica assuma un certo valore K. Avrei dovuto semplicemente fare il conto $X^tSX = K$ vero ?
ma se invece avessi avuto una semplice richiesta del tipo: trovare una terna (x, y, z) tale che la forma quadratica assuma un certo valore K. Avrei dovuto semplicemente fare il conto $X^tSX = K$ vero ?
Esatto
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