Autovettori associati ad autovalori immaginari
su questa matrice:
[tex]\begin{pmatrix} 1&-1&1
\\1&1&2
\\0&0&-1
\end{pmatrix}[/tex]
ho un autovalore complesso coniugato e uno reale. per l'autovettore associato all'autovalore reale, nessun problema, ma i "drammi" iniziano quando cerco di trovare gli autovettori relativi al complesso coniugato... dai miei calcoli, mi viene che i due autovettori sono entrambi nulli, è mai possibile una cosa del genere (sono un pò arrugginito di geometria)??
[tex]\begin{pmatrix} 1&-1&1
\\1&1&2
\\0&0&-1
\end{pmatrix}[/tex]
ho un autovalore complesso coniugato e uno reale. per l'autovettore associato all'autovalore reale, nessun problema, ma i "drammi" iniziano quando cerco di trovare gli autovettori relativi al complesso coniugato... dai miei calcoli, mi viene che i due autovettori sono entrambi nulli, è mai possibile una cosa del genere (sono un pò arrugginito di geometria)??
Risposte
Rispondo solo alla tua domanda perchè purtroppo non ho tempo.
La risposta è no, non è possibile. La molteplicità geometrica degli autovalori (ovvero la dimensione degli autovettori) è sempre $>=1$.
La risposta è no, non è possibile. La molteplicità geometrica degli autovalori (ovvero la dimensione degli autovettori) è sempre $>=1$.
Se gli autovalori ti vengono [tex]$-1,\ 1\pm i$[/tex] allora dovresti avere come rispettivi autovettori
[tex]$(4,8,-5),\ (\mp i y,y,0)$[/tex]
[tex]$(4,8,-5),\ (\mp i y,y,0)$[/tex]
scusate ma proprio il risultato non mi viene...
moltiplicando la matrice per un vettore 3X1 generico e uguagliando a 0 mi vengono guori queste tre equazioni (questo per l'autovalore complesso 1+i):
[tex]-ja-b+c=0[/tex]
[tex]a-jb+2c=0[/tex]
[tex]-2c-jc=0[/tex]
dalla terza ricavo che c=0 e fin qui ok. ma poi quando vado a risolvere le altre equazioni mi viene tutto 0 (non ho mai risolto un sistema di equazioni complesse, mea culpa)...
dov'è che sbaglio?
moltiplicando la matrice per un vettore 3X1 generico e uguagliando a 0 mi vengono guori queste tre equazioni (questo per l'autovalore complesso 1+i):
[tex]-ja-b+c=0[/tex]
[tex]a-jb+2c=0[/tex]
[tex]-2c-jc=0[/tex]
dalla terza ricavo che c=0 e fin qui ok. ma poi quando vado a risolvere le altre equazioni mi viene tutto 0 (non ho mai risolto un sistema di equazioni complesse, mea culpa)...
dov'è che sbaglio?
Non ho ben capito come hai scritto il sistema (cosa è j?). Ora ho da fare. Tra un po' ne riparliamo.
j==i 
il sistema l'ho scritto facendo questo:
[tex](\begin{pmatrix} 1&-1&1
\\1&1&2
\\0&0&-1
\end{pmatrix} -(1+j)I)*\begin{pmatrix}a\\b\\c \end{pmatrix} =0[/tex]
il sistema l'ho scritto facendo questo:
[tex](\begin{pmatrix} 1&-1&1
\\1&1&2
\\0&0&-1
\end{pmatrix} -(1+j)I)*\begin{pmatrix}a\\b\\c \end{pmatrix} =0[/tex]
Ok. Se non ho fatto errori dall'essere $c=0$ nella prima ricavi $b=-ja$.
Sostituendo nella seconda ottieni $a-j(-ja)=0$ che possiamo riscrivere come $a+j^2a=0$. Ricordandosi la relazione $j^2=-1$ si ottiene $0=0$.
Abbiamo quindi che $c=0$ e $b=-ja$
Sostituendo nella seconda ottieni $a-j(-ja)=0$ che possiamo riscrivere come $a+j^2a=0$. Ricordandosi la relazione $j^2=-1$ si ottiene $0=0$.
Abbiamo quindi che $c=0$ e $b=-ja$
Concordo pieamente con mistake.
"ciampax":
Se gli autovalori ti vengono [tex]$-1,\ 1\pm i$[/tex] allora dovresti avere come rispettivi autovettori
[tex]$(4,8,-5),\ (\mp i y,y,0)$[/tex]
quindi questo calcolo è sbagliato, c'è uno scambio di valori... mentre invece l'autovettore associato al complesso coniugato è lo stesso, solo che con b coniugato no?
Guarda che io ho scritto gli autovalori in termini di y, mentre mistake in termini di x. Scrivendo come mistake a me viene
[tex]$(4,8,-5),\ (x,\pm iy,0)$[/tex]
che sono gli autovalori come gli ha scritti mistake. Mi sa che non tieni tanto presente il fatto che [tex]$i^2=-1$[/tex] altrimenti ti rendersti subito conto che io e mistake abbiamo scritto la stessa cosa.
[tex]$(4,8,-5),\ (x,\pm iy,0)$[/tex]
che sono gli autovalori come gli ha scritti mistake. Mi sa che non tieni tanto presente il fatto che [tex]$i^2=-1$[/tex] altrimenti ti rendersti subito conto che io e mistake abbiamo scritto la stessa cosa.
adesso si che hai scritto bene, se leggi quello che hai scritto prima, ti è venuto fuori un vettore dove hai invertito i valori di a e di b.
Ma sai leggere???? Io prima avevo scritto le x in funzione di y, ora le y in funzione di x. Impara a fare i conti, prima di trovare errori in quello che scrivono gli altri.
"ciampax":
Ma sai leggere???? Io prima avevo scritto le x in funzione di y, ora le y in funzione di x. Impara a fare i conti, prima di trovare errori in quello che scrivono gli altri.
stai molto calmo, errare è umano. non c'è bisogno che ti agiti. grazie comunque dell'aiuto.
Non mi agito, ma affermare cose errate prima di cercare di capire cosa ti suggerisce la gente (e gli aiuti che ti vengono dati) non è una cosa piacevole. Tu, prima di criticare, impara a ragionare.
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