Autovalori matrici antisimmetriche

[ficus2002]

Sto cercando di dimostrare la seguente affermazione:
Sia $S$ una matrice complessa antisimmetrica non singolare. Allora ogni autovalore di $SS^{**}$ ha molteplicità algebrica pari.

Pensavo di procedere in questa maniera. Poichè $SS^{**}$ è hermitiana e quindi diagonalizzabile, la molteplicitò algebrica è uguagle a quella geometrica. Quindi basterebbe dimostrare che la molteplicità geometrica è pari, sfruttando la proprietà di antisimmetria di $S$.

[alberto861]

scusa non mi è chiaro cosa sarebbe quel prodotto di matrici che hai scritto

[ficus2002]

"alberto86":scusa non mi è chiaro cosa sarebbe quel prodotto di matrici che hai scritto

$S^{**}$ è la matrice trasposta coniugata di $S$.

[alberto861]

ma l'affermazione l'hai inventata te o esiste sul serio??per esempio se S appartiene a matrici $(2k+1)x(2k+1)$ con $k\in Z$ come fai ad avere tutti autospazi di dimensione pari o tutti autovalori di molteplicità pari?

[ficus2002]

"alberto86":ma l'affermazione l'hai inventata te o esiste sul serio??per esempio se S appartiene a matrici $(2k+1)x(2k+1)$ con $k\in Z$ come fai ad avere tutti autospazi di dimensione pari o tutti autovalori di molteplicità pari?

L'affermazione non è mia. Comunque, ogni matrice complessa antisimmetrica non singolare ha ordine pari. Infatti, se $S$ è una matrice complessa antisimmetrica di dimensione $n$ non singolare, si ha
$|S|=|S^T|=|-S|=(-)^n|S|\ne 0$.

$|\cdot|$ è il determinante.