Autovalori matrice di Hilbert

[thedarkhero]

Considero la generica matrice di Hilbert di ordine n $(1/(i+j-1))_(1<=i<=n,1<=j<=n)$, voglio provare che è diagonalizzabile e che tutti i suoi autovalori sono distinti in modulo.
La matrice di Hilbert è simmetrica e dunque diagonalizzabile (per il teorema spettrale giusto?).
Ma riguardo il fatto che gli autovalori sono tutti distinti in modulo come posso procedere?

[thedarkhero]

Posto una nuova idea che mi e' venuta...visto che ho provato che tutti i suoi autovalori sono reali mi chiedevo se fosse anche definita positiva. In tal caso avrei concluso in quanto tutti gli autovalori sarebbero positivi e dunque ammetterebbero certamente massimo e questo sarebbe unico. Qualche dritta?