Autovalori e somma
Parto da una semplice osservazione: se $A$ è una matrice $ntimesn$, e ${lambda_1, ldots, lambda_k}$ sono i suoi autovalori, allora gli autovalori della matrice $I+A$ sono ${lambda_1+1, ldots, lambda_k+1}$. E' chiaro che con le matrici scalari la musica non cambia: gli autovalori di $(alphaI+A)$ saranno ${lambda_1+alpha, ldots, lambda_k+alpha}$.
Esistono dei risultati più generali su questo argomento? Quand'è che di una matrice di tipo $(A+B)$ possiamo dire qualcosa sugli autovalori, noti gli autovalori di $A$ e $B$? (E viceversa).
Esistono dei risultati più generali su questo argomento? Quand'è che di una matrice di tipo $(A+B)$ possiamo dire qualcosa sugli autovalori, noti gli autovalori di $A$ e $B$? (E viceversa).
Risposte
Nel caso della somma $A+B$ penso che non si possa dire niente;
Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$ sul campo $\mathbbK$ e sia $f$ un endomorfismo di $V$.
Sia $sp(f) \subseteq \mathbbK$ lo spettro di $f$, cioè l'insieme degli autovalori di $f$.
Sia $q(t) \in \mathbbK[t]$ un polinomio a coefficienti in $\mathbbK$.
allora: ${q(\lambda)|\lambda \in sp(f)} \subseteq sp(q(f))$. Ma non necessariamente vale l'uguaglianza.
Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$ sul campo $\mathbbK$ e sia $f$ un endomorfismo di $V$.
Sia $sp(f) \subseteq \mathbbK$ lo spettro di $f$, cioè l'insieme degli autovalori di $f$.
Sia $q(t) \in \mathbbK[t]$ un polinomio a coefficienti in $\mathbbK$.
allora: ${q(\lambda)|\lambda \in sp(f)} \subseteq sp(q(f))$. Ma non necessariamente vale l'uguaglianza.
neanche se il campo è algebricamente chiuso?
per la somma A+B la vedo dura anche se il campo è algebricamente chiuso.
per l'uguaglianza dei due insiemi ci stavo pensando..
per l'uguaglianza dei due insiemi ci stavo pensando..
No, sulla somma $A+B$ ci ho messo una pietra sopra. Parlavo degli autovalori dei polinomi di endomorfismi.
Ah, però ora che ci penso, sicuramente se il campo è alg. chiuso A e B sono triangolarizzabili, e hanno forma triangolare (superiore) diciamo $T_A, T_B$. Ora è chiaro che la somma di matrici triangolari superiori ( o inferiori) ha per autovalori la somma degli autovalori dei singoli addendi.
Quindi possiamo dire: se A e B sono simultaneamente triangolarizzabili(*), gli autovalori di A+B sono le somme degli autovalori di A e di B.
Allora, domanda: Quando due matrici sono simultaneamente triangolarizzabili?
(*) Voglio dire che esiste una matrice $P$ invertibile tale che $P^(-1)AP=T_A, P^(-1)BP=T_B$.
P.S.:@nightknight - sei riuscito poi a calcolare l'ordine del gruppo ortogonale?
Ah, però ora che ci penso, sicuramente se il campo è alg. chiuso A e B sono triangolarizzabili, e hanno forma triangolare (superiore) diciamo $T_A, T_B$. Ora è chiaro che la somma di matrici triangolari superiori ( o inferiori) ha per autovalori la somma degli autovalori dei singoli addendi.
Quindi possiamo dire: se A e B sono simultaneamente triangolarizzabili(*), gli autovalori di A+B sono le somme degli autovalori di A e di B.
Allora, domanda: Quando due matrici sono simultaneamente triangolarizzabili?
(*) Voglio dire che esiste una matrice $P$ invertibile tale che $P^(-1)AP=T_A, P^(-1)BP=T_B$.
P.S.:@nightknight - sei riuscito poi a calcolare l'ordine del gruppo ortogonale?
Un primo risultato sulle matrici simultaneamente diagonalizzabili:
due matrici A, B sono simultaneamente diagonalizzabili se e solo se sono singolarmente diagonalizzabili e commutano tra loro.
Come possiamo estendere alle matrici triangolarizzabili?
due matrici A, B sono simultaneamente diagonalizzabili se e solo se sono singolarmente diagonalizzabili e commutano tra loro.
Come possiamo estendere alle matrici triangolarizzabili?
Per il gruppo ortogonale ho lasciato perdere..
cmq vale il seguente risultato (es. 37, Broglia,Fortuna,Luminati - problemi risolti di algebra lineare):
A,B matrici quadrate su un campo algebricamente chiuso che commutano, cioè AB=BA.
allora A e B sono triangolarizzabili simultaneamente.
cmq vale il seguente risultato (es. 37, Broglia,Fortuna,Luminati - problemi risolti di algebra lineare):
A,B matrici quadrate su un campo algebricamente chiuso che commutano, cioè AB=BA.
allora A e B sono triangolarizzabili simultaneamente.
Quindi possiamo trarre una conclusione:
se $K$ è un campo alg. chiuso, $A, B\inM_n(K)$ che commutano, allora tutti gli autovalori di $A+B$ sono la somma di un autovalore di $A$ e di un autovalore di $B$. Carino! Grazie NightKnight.
Chissà se vale pure il viceversa, visto che a sua volta pure $A+B$ è triangolarizzabile... Mah.
Per venire alla questione dei polinomi di matrici che avevi sollevato tu, possiamo concludere che se $K$ è algebricamente chiuso, $p$ è un polinomio in $K[x]$, ${lambda_1, ldots, lambda_n}$ sono gli autovalori di $A$ allora ${p(lambda_1), ldots, p(lambda_n)}$ sono gli autovalori di $p(A)$. Questo sempre per questioni di triangolarizzabilità.
Infatti, sia $P\inGL_n(K)$ tale che $P^(-1)AP=T_A$, $T_A$ triangolare superiore. Allora $p(T_A)=P^(-1)p(A)P$ (valutare un polinomio è un'operazione invariante per similitudine) quindi $p(A)$ è simile a $p(T_A)$ e in particolare ha esattamente gli stessi autovalori. Infine, è facile verificare che $p(T_A)$ è triangolare superiore e l'elemento $i$-esimo della sua diagonale principale è esattamente $p(lambda_i)$. Concludiamo che lo spettro di $p(A)$ è esattamente ${p(lambda_1), ldots, p(lambda_n)}$.
se $K$ è un campo alg. chiuso, $A, B\inM_n(K)$ che commutano, allora tutti gli autovalori di $A+B$ sono la somma di un autovalore di $A$ e di un autovalore di $B$. Carino! Grazie NightKnight.
Chissà se vale pure il viceversa, visto che a sua volta pure $A+B$ è triangolarizzabile... Mah.
Per venire alla questione dei polinomi di matrici che avevi sollevato tu, possiamo concludere che se $K$ è algebricamente chiuso, $p$ è un polinomio in $K[x]$, ${lambda_1, ldots, lambda_n}$ sono gli autovalori di $A$ allora ${p(lambda_1), ldots, p(lambda_n)}$ sono gli autovalori di $p(A)$. Questo sempre per questioni di triangolarizzabilità.
Infatti, sia $P\inGL_n(K)$ tale che $P^(-1)AP=T_A$, $T_A$ triangolare superiore. Allora $p(T_A)=P^(-1)p(A)P$ (valutare un polinomio è un'operazione invariante per similitudine) quindi $p(A)$ è simile a $p(T_A)$ e in particolare ha esattamente gli stessi autovalori. Infine, è facile verificare che $p(T_A)$ è triangolare superiore e l'elemento $i$-esimo della sua diagonale principale è esattamente $p(lambda_i)$. Concludiamo che lo spettro di $p(A)$ è esattamente ${p(lambda_1), ldots, p(lambda_n)}$.
Esatto!!!
Per lo spettro di q(f): se il campo non è algebricamente chiuso, non si può dire che vale l'uguaglianza, ma soltanto il contenimento.
Infatti ad esempio sia
$A =((0 1),(-1 0))$ sul campo dei reali. A non ha autovalori, mentre $A^2 + 1$ ha come autovalore lo zero.
Per lo spettro di q(f): se il campo non è algebricamente chiuso, non si può dire che vale l'uguaglianza, ma soltanto il contenimento.
Infatti ad esempio sia
$A =((0 1),(-1 0))$ sul campo dei reali. A non ha autovalori, mentre $A^2 + 1$ ha come autovalore lo zero.
Però, se la matrice $A$ ha tutti gli autovalori nel campo di riferimento, allora si può dire che vale l'uguaglianza tra gli spettri di $A$ e di $p(A)$, no? Perché in questo caso $A$ è triangolarizzabile e quindi si può rifare il discorso di prima. Che dici?
Dico di sì!
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