Autovalori e autovettori, esercizio bastardo

[fegem]

ho una matrice:

$A=((1,2,0),(0,3,0),(2,-4,2))$

ho calcolato gli autovalori che sono 3 , 2 e 1. Tutti e tre hanno molteplicità geometrica e algebrica uguale quindi la matrice è diagonalizzabile.
Ora vorrei calcolarmi gli autovettori ma non riesco a capire come fare. Chi può darmi una mano a calcolarli? Ringrazio quelli che interverranno anticipatamente.

[_Tipper]

Ti calcolo gli autovettori relativi a $1$, per gli altri autovalori si procede analogamente.

$A - I = ((0,2,0),(0,2,0),(2,-4,1))$

$(A - I) ((x_1),(x_2),(x_3)) = ((0),(0),(0)) \implies \{(2 x_2 = 0),(2 x_2 = 0),(2 x_1 - 4 x_2 + x_3 = 0):} \implies \{(x_2 = 0),(x_3 = -2 x_1):}$

Posto $x_1 := \alpha \in \mathbb{R}$, un generico vettore appartenente all'autospazio relativo all'autovalore $1$ è

$((\alpha),(0),(-2 \alpha))$

Quindi gli autovettori relativi a $1$ sono tutti e soli i vettori della forma $((\alpha),(0),(-2 \alpha)) = \alpha ((1),(0),(-2))$, dove $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$, e in particolare una base per questo autospazio è $\{((1),(0),(-2))\}$.

[Thomas16]

beh ora non esageriamo: esercizio bastardo.... sapere diagonalizzare una matrice credo sia un pò come saper fare una derivata o un integrale (di quelli semplici) .. ovvero bagaglio necessario per chi utilizza un pochetto di matematica nella vita...

[fegem]

'Bastardo' perchè il libro mi riportava risultati differenti da quelli che ottenevo io (e quelli di Tipper mi hanno dato ragione) e pensavo potessi essere io ad aver sbagliato.

[Sk_Anonymous]

Gli autovettori di una matrice relativi ad un dato autovalore godono della proprietà che
$Ax=lambda x$
ovvero
$(A-lambdaI)x=0$, dove $I$ è la matrice identità.
Perciò per trovare l'autovettore $x$, devi prima costruire la matrice $B=A-lambda I$ e poi risolvere il sistema
$Bx=0$
Ora, normalmente, cioè se B fosse non singolare (cioè se B avesse determinante non nullo), tale sistema ammetterebbe solo la soluzione banale (0, 0, 0). Ma B è singolare, perchè $A - lambda I$, dove $lambda$ è un autovalore qualsiasi di A, è una matrice che ha determinante nullo. Questo per la definizione stessa di "autovalore" di una matrice. Quindi il sistema $Bx=0$ ammette non una, ma infinite soluzioni. A te basta sceglierne una, quella che ti sta più simpatica, o quella che corrisponde a un auto-versore, cioè a un autovettore di modulo 1. Nella fattispecie (cfr. soluzione di Tipper) il tuo autoversore sarebbe
$u=1/sqrt(5)((1),(0),(-2))$
Ma va bene anche il suo opposto:
$v=-u=1/sqrt(5)((-1),(0),(2))$