Autovalori e Autovettori

[horuseye]

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Il problema è nell'immagine che ho allegato....
Se qualcuno può aiutarmi ne sarei davvero grato...

[_Tipper]

Per trovare gli autovalori ti basta scrivere la matrice $A - \lambda I$, dove $I$ è la matrice identita $3 \times 3$, calcoli il determinare e lo poni a zero. Le radici sono gli autovalori.

Si dice che $v$ è un autovettore relativo all'autovalore $\lambda_i$ se e solo se $Av = \lambda_i v$, cioè se $(A - \lambda_i) v = O$, dove $O$ è il vettore nullo e $v \ne O$.

Quindi, per trovare gli autovettori relativi a tale autovalore ti basta prendere $v = ((v_a),(v_b),(v_c))$ e impostare il sistema. Facendo un po' di conti si trova che un autovalore è $1$; per trovare gli autovettori relativi a $1$ basta considerare la matrice $A-I$, moltiplicarla per $v$ e uguagliare al vettore nullo:

$((0,1,0),(0,5,0),(0,0,-8)) ((v_a),(v_b),(v_c)) = ((0),(0),(0))$

Impostando il sistema si ottiene

$\{(v_b=0),(5v_b=0),(-8v_c=0):}$

cioè $v_b=v_c=0$

Ponendo $v_a = \alpha$ come parametro libero, il generico autovettore relativo all'autovalore $1$ si scrive come

$((\alpha),(0),(0)) = \alpha ((1),(0),(0))$

quindi gli autovettori relativi all'autovalore $1$ sono tutti e soli i vettori paralleli a $((1),(0),(0))$, e questo vettore forma una base del relativo autospazio.