Autovalori e auto vettori aiuto!
Ciao a tutti nell'ultimo esame avevo un esercizio su una matrice il mio compito era calcolare autovalori e autovettori solo che l'ho sbaliato ora chiedo a voi se potreste aiutarmi in modo da avere un metodo chiaro su come eseguire l'esercizio grazie.
Es: calcolare autovalori e autovettori della seguente matrice (utilizzando la matrice identità moltiplicata per lamda)
[tex]\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & \sqrt{21} \\ 0 & \sqrt{21} & 8 \end{matrix}[/tex]
vi prego spiegatemelo con più passaggi possibili grazie mille
Es: calcolare autovalori e autovettori della seguente matrice (utilizzando la matrice identità moltiplicata per lamda)
[tex]\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & \sqrt{21} \\ 0 & \sqrt{21} & 8 \end{matrix}[/tex]
vi prego spiegatemelo con più passaggi possibili grazie mille
Risposte
Chiamo la tua matrice $A$, si tratta di calcolare il determinante della matrice $A-lambdaI_3=0$ ovvero $|(1-lambda,0,0),(0,4-lambda,sqrt(21)),(0,sqrt(21),8-lambda)|=0$.
Sviluppando lungo la prima riga otteniamo $(1-lambda)[(4-lambda)(8-lambda)-21]=0$ riscriviamo meglio ciò che sta in parentisi otteniamo $(1-lambda)[lambda^2-12lambda+11]=0$, risolviamo l'equazione di secondo grado ed otteniamo $(1-lambda)(lambda-11)(lambda-1)=0$. Dalla teoria sai che gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico (cioè quello che ci siamo appena calcolati) e pertanto le radici saranno $1,11$ ove $1$ ha molteplicità algebrica $2$ in quanto compare due volte nella fattorizzazione.
Per calcolarci gli autospazi, la cui base saranno proprio gli autovettori, dobbiamo risolvere il sistema $(A-lambdaI_3)((x),(y),(z))=0$ sostituendo a $lambda$ i valori precedentemente trovati.
Risulterà quindi (ne faccio soltanto uno!) $((0,0,0),(0,3,sqrt(21)),(0,sqrt(21),7))((x),(y),(z))=0$ da cui avremo, se non ho sbagliato i calcoli ceh ti invito a controllare, $z=y=0$ perciò il nostro autovalore sarà $(1,0,0)$
Sviluppando lungo la prima riga otteniamo $(1-lambda)[(4-lambda)(8-lambda)-21]=0$ riscriviamo meglio ciò che sta in parentisi otteniamo $(1-lambda)[lambda^2-12lambda+11]=0$, risolviamo l'equazione di secondo grado ed otteniamo $(1-lambda)(lambda-11)(lambda-1)=0$. Dalla teoria sai che gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico (cioè quello che ci siamo appena calcolati) e pertanto le radici saranno $1,11$ ove $1$ ha molteplicità algebrica $2$ in quanto compare due volte nella fattorizzazione.
Per calcolarci gli autospazi, la cui base saranno proprio gli autovettori, dobbiamo risolvere il sistema $(A-lambdaI_3)((x),(y),(z))=0$ sostituendo a $lambda$ i valori precedentemente trovati.
Risulterà quindi (ne faccio soltanto uno!) $((0,0,0),(0,3,sqrt(21)),(0,sqrt(21),7))((x),(y),(z))=0$ da cui avremo, se non ho sbagliato i calcoli ceh ti invito a controllare, $z=y=0$ perciò il nostro autovalore sarà $(1,0,0)$
scusa un secondo ma se volessimo calcolare gli autovettori impostando un sistema lineare è ugualmente possibile calcolarli?
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