Autovalori distinti e autovettori indipendenti
Siano V spazio vettoriale e $phi:V->V$ endomorfismo.
Siano $a_1,...,a_r$ autovalori distinti di $phi$ e $v_1,...,v_r$ i relativi autovettori.
Allora $v_1,...,v_r$ sono linearmente indipendenti.
Come si può dimostrare?
Siano $a_1,...,a_r$ autovalori distinti di $phi$ e $v_1,...,v_r$ i relativi autovettori.
Allora $v_1,...,v_r$ sono linearmente indipendenti.
Come si può dimostrare?
Risposte
Osservando anzitutto che se gli autovalori $a_1,...,a_r$ sono distinti allora $V_(a_1)+...+V_(a_r)=V_(a_1)oplus,...,oplusV_(a_r)$
se non riesci a risolverlo, in giornata, quando ho un pò di tempo, ti posto una dimostrazione
se non riesci a risolverlo, in giornata, quando ho un pò di tempo, ti posto una dimostrazione
Ponendo l'endomorfismo $(phi-a_1)...(phi-a_r)$ uguale a zero posso in qualche modo dedurre l'indipendenza degli autovettori?
Uguaglio a zero una combinazione lineare di autovettori provando a dedurne che i coefficienti sono tutti nulli.
$b_1v_1+b_2v_2+...+b_rv_r=0$
Applico l'endomorfismo $(phi-a_2)...(phi-a_r)$ a entrambi i termini.
$(phi-a_2)...(phi-a_r)(b_1v_1+b_2v_2+...+b_rv_r)=(phi-a_2)...(phi-a_r)(0)$
$b_1(phi-a_2)...(phi-a_r)(v_1)+b_2(phi-a_2)...(phi-a_r)(v_2)+...+b_r(phi-a_2)...(phi-a_r)(v_r)=0$
Poi come posso proseguire?
$b_1v_1+b_2v_2+...+b_rv_r=0$
Applico l'endomorfismo $(phi-a_2)...(phi-a_r)$ a entrambi i termini.
$(phi-a_2)...(phi-a_r)(b_1v_1+b_2v_2+...+b_rv_r)=(phi-a_2)...(phi-a_r)(0)$
$b_1(phi-a_2)...(phi-a_r)(v_1)+b_2(phi-a_2)...(phi-a_r)(v_2)+...+b_r(phi-a_2)...(phi-a_r)(v_r)=0$
Poi come posso proseguire?
Ti propongo una mia dimostrazione studiata a lezione sperando che possa risultare chiara
Dimostro prima una proposizione, in modo da mostrare quanto da te affermato come corollario.
Proposizione
Sia $finEnd(V)$ e siano $lambda_1,...,lambda_r$ con $r>=2$ autovalori di $f$ a due a due distinti.
Allora: $V_(lambda_1)+...+V_(lambda_r)=V_(lambda_1)oplus...oplusV_(lambda_r)$
dimostrazione
Procediamo per induzione su $r$.
Mostriamo che l'uguaglianza è vera per $r=2$
Siano $lambda_1,lambda_2$ autovalori distinti di $f$. Dobbiamo provare che $V_(lambda_1)nnV_(lambda_2)={0_V}$
Sia $vinV_(lambda_1)nnV_(lambda_2)$ allora $vinV_(lambda_1)->f(v)=lambda_1v$ e $vinV_(lambda_2)->f(v)=lambda_2v$ da ciò quindi si ha $lambda_1v-lambda_2v=0hArr(lambda_1-lambda_2)v=0$, poichè gli autovalori sono distinti, segue che $v=0_v$ e pertanto l'asserto è vero per $2$
Ora supponiamolo vero per $r$ dimostriamolo per $r+1$
Siano $v_1inV_(lambda_1),...,v_(r+1)inV_(lambda_(r+1))$ tali che $\sum_{i=1}^(r+1) v_i=0$, dobbiamo provare che $AAiin{1,...,r+1}$ $v_i=0$
$0_v= \sum_{i=1}^(r+1) v_i->f(0_v)=f(\sum_{i=1}^(r+1) v_i)=\sum_{i=1}^(r+1) f(v_i)=\sum_{i=1}^(r+1) lambda_iv_i=0_v$ (1)
Inoltre $0_v=\sum_{i=1}^(r+1)v_i$, moltiplicando per $lambda_(r+1)$ si ha $\sum_{i=1}^(r+1)lambda_(r+1)v_i$ (2)
Sottraendo (1) alla (2): $0_v=\sum_{i=1}^(r)(lambda_(r+1)-lambda_i)v_i$
Poniamo $v'_i=(lambda_(r+1)-lambda_i)v_i$
Si ha che $v'_i$ è proporzionale ai $v_i$ e pertanto $v'_iinV_(lambda_i)$. Da ciò segue che $\sum_{i=1}^(r)v'_i=0$. Perciò per ipotesi induttiva $V_(lambda_1)+...+V_(lambda_r)=V_(lambda_1)oplus...oplusV_(lambda_r)$ allora $AAiin{1,...,r}:v'_i=0_v$ ma $v'_i=(lambda_(r+1)-lambda(i))v_i$ ed essendo gli autovalori distinti segue che $v_i=0$.
Dalla $\sum_{i=1}^(r+1)v_i=0_v$ se che anche $v_(r+1)=0_v$
corollario
Sia $finEnd(V)$
Allora autovettori di $f$ corrispondenti ad autovalori a due a due distinti sono linearmente indipendendi
dimostrazione
Siano $lambda_1,...,lambda_r$ autovalori di $f$ a due a due distinti.
Siano $v_i$ autovettori di autovalore $lambda_i$. Allora $v_iinV_lambda_i$ e $v_i=!0$
Consideriamo allora una loro combinazione lineare nulla: $\sum_{i=1}^(r)av_i=0$. Poniamo allora $AAiin{1,...,r}v'_i=av_i$, poichè proporzionali ai $v_i$ risulterà $v'_iinV_(lambda_i)$
S i ha quindi $\sum_{i=1}^(r)v'_i=0_v$ per la proposizione precedenti allora $AAiin{1,...,r}: v'_i=0_v$, risulta cioè $av_i=0_v$ e poichè i $v_i=!0->a=0$ ovvero i vettori sono linearmente indipendenti.
CVD
Spero di essere stato chiaro e di non aver commesso errori, data l'ora tarda.
Per ogni domanda chiedi senza problemi
Ciao
Dimostro prima una proposizione, in modo da mostrare quanto da te affermato come corollario.
Proposizione
Sia $finEnd(V)$ e siano $lambda_1,...,lambda_r$ con $r>=2$ autovalori di $f$ a due a due distinti.
Allora: $V_(lambda_1)+...+V_(lambda_r)=V_(lambda_1)oplus...oplusV_(lambda_r)$
dimostrazione
Procediamo per induzione su $r$.
Mostriamo che l'uguaglianza è vera per $r=2$
Siano $lambda_1,lambda_2$ autovalori distinti di $f$. Dobbiamo provare che $V_(lambda_1)nnV_(lambda_2)={0_V}$
Sia $vinV_(lambda_1)nnV_(lambda_2)$ allora $vinV_(lambda_1)->f(v)=lambda_1v$ e $vinV_(lambda_2)->f(v)=lambda_2v$ da ciò quindi si ha $lambda_1v-lambda_2v=0hArr(lambda_1-lambda_2)v=0$, poichè gli autovalori sono distinti, segue che $v=0_v$ e pertanto l'asserto è vero per $2$
Ora supponiamolo vero per $r$ dimostriamolo per $r+1$
Siano $v_1inV_(lambda_1),...,v_(r+1)inV_(lambda_(r+1))$ tali che $\sum_{i=1}^(r+1) v_i=0$, dobbiamo provare che $AAiin{1,...,r+1}$ $v_i=0$
$0_v= \sum_{i=1}^(r+1) v_i->f(0_v)=f(\sum_{i=1}^(r+1) v_i)=\sum_{i=1}^(r+1) f(v_i)=\sum_{i=1}^(r+1) lambda_iv_i=0_v$ (1)
Inoltre $0_v=\sum_{i=1}^(r+1)v_i$, moltiplicando per $lambda_(r+1)$ si ha $\sum_{i=1}^(r+1)lambda_(r+1)v_i$ (2)
Sottraendo (1) alla (2): $0_v=\sum_{i=1}^(r)(lambda_(r+1)-lambda_i)v_i$
Poniamo $v'_i=(lambda_(r+1)-lambda_i)v_i$
Si ha che $v'_i$ è proporzionale ai $v_i$ e pertanto $v'_iinV_(lambda_i)$. Da ciò segue che $\sum_{i=1}^(r)v'_i=0$. Perciò per ipotesi induttiva $V_(lambda_1)+...+V_(lambda_r)=V_(lambda_1)oplus...oplusV_(lambda_r)$ allora $AAiin{1,...,r}:v'_i=0_v$ ma $v'_i=(lambda_(r+1)-lambda(i))v_i$ ed essendo gli autovalori distinti segue che $v_i=0$.
Dalla $\sum_{i=1}^(r+1)v_i=0_v$ se che anche $v_(r+1)=0_v$
corollario
Sia $finEnd(V)$
Allora autovettori di $f$ corrispondenti ad autovalori a due a due distinti sono linearmente indipendendi
dimostrazione
Siano $lambda_1,...,lambda_r$ autovalori di $f$ a due a due distinti.
Siano $v_i$ autovettori di autovalore $lambda_i$. Allora $v_iinV_lambda_i$ e $v_i=!0$
Consideriamo allora una loro combinazione lineare nulla: $\sum_{i=1}^(r)av_i=0$. Poniamo allora $AAiin{1,...,r}v'_i=av_i$, poichè proporzionali ai $v_i$ risulterà $v'_iinV_(lambda_i)$
S i ha quindi $\sum_{i=1}^(r)v'_i=0_v$ per la proposizione precedenti allora $AAiin{1,...,r}: v'_i=0_v$, risulta cioè $av_i=0_v$ e poichè i $v_i=!0->a=0$ ovvero i vettori sono linearmente indipendenti.
CVD
Spero di essere stato chiaro e di non aver commesso errori, data l'ora tarda.
Per ogni domanda chiedi senza problemi
Ciao
Grazie, la tua dimostrazione mi è chiara. Volevo però capire quella al punto 1.4 della seguente dispensa.
cosa precisamente non ti è chiara di quella dimostrazione?
Dopo aver applicato l'endomorfismo dice "Si ottiene così la relazione...".
Lo zero a destra è l'immagine dello zero attraverso un endomorfismo, chiaro.
Ma come si ottiene l'espressione a sinistra?
Lo zero a destra è l'immagine dello zero attraverso un endomorfismo, chiaro.
Ma come si ottiene l'espressione a sinistra?
Applicando l'endomorfismo $phi$ al vettore $v_i$ ricordi la definizione di autovettore ed autovalore (cioè che $phi(v_i)=a_iv_i$) ed ottieni la relazione espressa nella dimostrazione
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