Autovalori autovettori riduzione a scalini

[antonio089]

salve,

ho tre rapide domande:

1. ai fine del calcolo degli autovalori è sempre equivalente calcolare:

Det (A-(lamdba)*I) o det ((lambda)*I-A)) ??

2. nel fare la riduzione a scalini per la soluzione di un sistema lineare mi posso arrestare in un qualsiasi passaggio intermedio ottendendo le stesse soluzioni?

3. La riduzione a scalini può essere proficuamente utilizzata per determinare autovalori e/o autovettori?

da quanto leggo qui post363819.html#p363819 parrebbe di no...

grazie

[dissonance]

Per quanto riguarda 3, anni fa ero stato molto categorico nel dire che il metodo di Gauss non c'entra nulla con gli autovalori e gli autovettori. In realtà ci sarebbe un modo di usarlo in questo contesto, ma non è detto che funzioni sempre e non è molto utile. Me lo segnalò edge, otto anni fa:

viewtopic.php?p=411357#p411357

Quanto a 1, è la stessa cosa. I due polinomi sono uguali in dimensione pari e differiscono di un segno in dimensione dispari, ma in ogni caso hanno le stesse radici.

Per la 2, si. Ogni passaggio del metodo di Gauss trasforma il sistema in uno equivalente.

[Bokonon]

"antonio08":
1. ai fine del calcolo degli autovalori è sempre equivalente calcolare:

Det (A-(lamdba)*I) o det ((lambda)*I-A)) ??

$ det(Ilambda-A) $ significa cercare gli autovalori della matrice $ -A $
Dunque come sai potresti raccogliere -1 da ogni riga di $ A-Ilambda $ e ottenere $det(-A)=(-1)^n* det(A-Ilambda) $
Quindi cambia di segno a seconda che le righe siano in numero pari o dispari. Ma fa qualche differenza?
No, perchè tanto lo eguagli a zero

"antonio08":
2. nel fare la riduzione a scalini per la soluzione di un sistema lineare mi posso arrestare in un qualsiasi passaggio intermedio ottendendo le stesse soluzioni?

Questa è una domanda "strana"
Certo che puoi fermarti quando vuoi...volendo potresti non cominciare nemmeno se sai a calcolare a mente le soluzioni del sistema con un colpo d'occhio
In questo caso, l'eliminazione di Gauss-Jordan serve solo a "semplificare" il sistema e ti puoi fermare ogni volta che ti dici "ok, vedo già le soluzioni, non mi occorre andare oltre".

"antonio08":
3. La riduzione a scalini può essere proficuamente utilizzata per determinare autovalori e/o autovettori?

Autovettori di certo, dato che dobbiamo risolvere il sistema omogeneo associato ad ogni autovalore...e spesso sono complessi, quindi torniamo alla domanda 2)
Autovalori, no di certo. E non intendo dire che non potresti buttarci dentro Gauss-Jordan (vedo già mentalmente almeno due modi per farlo) ma che alla fine dei giochi otterresti scomposizioni della matrice originale su cui applicare comunque il determinante, per ottenere poi la medesima equazione caratteristica Mi spiego con un esempio.
Chiamiamo $ A-Ilambda=B $ per comodità. Non puoi applicare Gauss Jordan su B senza modificarlo, quindi devi anche "registrare" tutte le operazioni che hai fatto su B. Per esempio puoi renderla una matrice triangolare superiore U quindi ottieni $ LB=U $ dove L raccoglie tutte le trasformazioni che hai effettuato, poi puoi ricavare nuovamente $ B=L^-1U $ e infine calcolare $ det(B)=det(L^-1)*det(U) $ così da avere i medesimi autovalori. Ma chi te lo fa fare?

[antonio089]

grazie molte. Sei stato prezioso!!

a buon rendere