Autovalori
Salve avrei due quesiti da porvi:
Data la seguente matrice:
Uploaded with ImageShack.us
come posso capire gli autovalori?Sono gli elementi nella diagonale?
Data la seguente matrice:
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come posso capire gli autovalori?Sono gli elementi nella diagonale?
Risposte
Se si indica con $A$ la matrice in questione e con $I$ la matrice identica, gli autovalori sono le soluzioni di $det(x*I-A)=0$.
ma visto che è diagonale mi auguravo di non dover fa tutti quei conti..
Beh, non è che sia molto diagonale, o meglio . . lo è ma nella diagonale sbagliata !
Comunque, essendo la matrice piena di zeri, non ci sono molti conti da fare, volendo potresti addirittura farli a occhio; basta sviluppare il determinante nella maniera più veloce, vedrai che è un attimo.
Comunque, essendo la matrice piena di zeri, non ci sono molti conti da fare, volendo potresti addirittura farli a occhio; basta sviluppare il determinante nella maniera più veloce, vedrai che è un attimo.
Un po' d'occhio.
Prima colonna tutta nulla, un autovalore è 0.
$f(e_2+e_3+e_4)= e_2+e_3+e_4$
un autovalore è 1
Essendo un test a risposta multipla già ne hai scartati un po'!
Prima colonna tutta nulla, un autovalore è 0.
$f(e_2+e_3+e_4)= e_2+e_3+e_4$
un autovalore è 1
Essendo un test a risposta multipla già ne hai scartati un po'!
Grazie per le risposte,mettiamo ora che io abbia una matrice simmetrica davanti,quindi sicuramente diagonalizzabile se io la riduco a matrice diagonale posso capire almeno il segno degli autovalori?
Se la riduci a matrice diagonale avrai sulla diagonale principale gli autovalori stessi, molto più del segno!
ma posso operare tranquillo con gauss o devo avere cura di qualcosa?
"edge":Per niente!!! Attenzione: il metodo di eliminazione di Gauss e la diagonalizzazione NON C'ENTRANO NULLA. Vedi https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#363819
ma posso operare tranquillo con gauss o devo avere cura di qualcosa?
Ti ringrazio decisamente Dissonance ,mi hai tolto un dubbio grosso,purtroppo me ne resta un altro.
Mi pare vi sia un teorema che mi garantisce almeno il segno degli autovalori senza dover controllare il polinomio caratteristico,data una matrice diagonale.
Forse Sylvester?Mi spiace star qui a tirare ad indovinare,ma l'esame è vicino ed il tempo per trovare tutte le risposte da solo,davvero non lo trovo.
Mi pare vi sia un teorema che mi garantisce almeno il segno degli autovalori senza dover controllare il polinomio caratteristico,data una matrice diagonale.
Forse Sylvester?Mi spiace star qui a tirare ad indovinare,ma l'esame è vicino ed il tempo per trovare tutte le risposte da solo,davvero non lo trovo.
Se la matrice è diagonale gli autovalori li leggi sulla diagonale principale. Tu forse ti riferisci ai criteri per stabilire rapidamente se una data matrice simmetrica (o anche hermitiana) è definita positiva - negativa. Vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_di_Jacobi
Mi pare di aver trovato qualcosa su internet,praticamente avendo una matrice simmetrica,se utilizzo Gauss perdo sicuramente i valori corretti degli autovalori,ma una volta arrivato a matrice diagonale,i SEGNI dei coefficenti della diagonale sono uguali ai segni degli autovalori,direttamente dal Teorema di Sylvester.
Per conferma:
Pag 9 http://calvino.polito.it/~terzafac/Cors ... volti9.pdf
Per conferma:
Pag 9 http://calvino.polito.it/~terzafac/Cors ... volti9.pdf
Mah, io questa cosa non l'avevo mai sentita. La regola di Cartesio, per stabilire il segno degli autovalori, sì; ed essa è applicabile in presenza di matrici simmetriche perché dal teorema spettrale queste hanno tutti gli autovalori reali. Ma l'uso dell'algoritmo di Gauss mi giunge nuovo.
Comunque con gauss resta invariato solo il segno NON gli autovalori stessi..come giustamente mi hai fatto notare tu ieri sera.
Questa cosa è sbagliata, edge. Secondo me l'algoritmo di Gauss distrugge anche le informazioni sul segno degli autovalori. Prendi il secondo esempio di https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#363819: applicando Gauss trasformi una matrice ($B$) simmetrica e avente autovalori $\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \frac{1-\sqrt{5}}{2}$, uno positivo e uno negativo, nella matrice identica che ha l'unico autovalore $1$, positivo. In termini di teorema di Sylvester, hai trasformato una matrice con segnatura $(1,1)$ in una con segnatura $(2, 0)$. Naturalmente potrebbe essere che nel link io abbia sbagliato i conti, ma ad una rapida occhiata mi pare di no.
E invece si,perchè gli autovalori sono entrambi positivi ,l'equazione caratteristica risulta essere:
$x^2 -3x +1=0$ che senza fare conti avrà due radici positive non nulle,secondo cartesio.
$x^2 -3x +1=0$ che senza fare conti avrà due radici positive non nulle,secondo cartesio.
Ah si è vero avevo sbagliato i conti: gli autovalori sono $\frac{3+-\sqrt(5)}{2}$ e sono entrambi positivi. Ma tu conosci la dimostrazione di questo risultato (trasformando una matrice mediante operazioni elementari il segno degli autovalori non cambia)?
Ora come ora no.Però posso provare a rimediarla ..
E cerca di rimediarla, perché sicuramente come la stiamo dicendo in questi post è falsa. OK l'esempio di prima fallisce ma eccone un altro caldo caldo ( 
):
prendiamo la matrice $((1, 0), (0, -1))$. Una operazione elementare sulle righe è quella di moltiplicare una riga per una costante, per esempio moltiplicare la seconda riga per $-1$:
$((1, 0), (0, -1))->((1, 0), (0, 1))$
Da avere autovalori $1, -1$ ad avere autovalori $1, 1$.
):prendiamo la matrice $((1, 0), (0, -1))$. Una operazione elementare sulle righe è quella di moltiplicare una riga per una costante, per esempio moltiplicare la seconda riga per $-1$:
$((1, 0), (0, -1))->((1, 0), (0, 1))$
Da avere autovalori $1, -1$ ad avere autovalori $1, 1$.
Aggiornamento:
"Bella domanda, con risposta articolata! Il teorema di Sylvester (che
trovi fatto bene sul Lang) dice che se si sostituisce ad una matrice A
un'altra M'AM la segnatura non cambia. Usando Gauss e compiendo le
stesse operazioni sulle righe e sulle colonne si modifica la matrice
esattamente a quel modo. La mia fonte su quest;uso di Gauss e` il Prof.
Ciampa, e quindi immagino che le fonti piu adatte siano i libri di
Calcolo Numerico, oppure lo Strang."
"Bella domanda, con risposta articolata! Il teorema di Sylvester (che
trovi fatto bene sul Lang) dice che se si sostituisce ad una matrice A
un'altra M'AM la segnatura non cambia. Usando Gauss e compiendo le
stesse operazioni sulle righe e sulle colonne si modifica la matrice
esattamente a quel modo. La mia fonte su quest;uso di Gauss e` il Prof.
Ciampa, e quindi immagino che le fonti piu adatte siano i libri di
Calcolo Numerico, oppure lo Strang."
???
Ma cos'è, uno stralcio tratto da un altro forum?
Ma cos'è, uno stralcio tratto da un altro forum?
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