Autospazi con parametro II
Ciao a tutti, avevo chiesto giorni fa un esercizio simile a questo, ora vorrei chiedervi un'altra cosa:
Trovare a variare del parametro gli autospazi della matrice \(\displaystyle \begin{pmatrix}a&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix} \)
Ho provato a fare in questo modo: \(\displaystyle \det\begin{pmatrix}a-\lambda&0&0\\0&-\lambda&1\\0&1&-\lambda\end{pmatrix}=0 \Rightarrow (a-\lambda)(\lambda^{2}-1)=0 \)
Da cui gli autovalori sono: \(\displaystyle \lambda_1=a \ , \ \lambda_2=1 \ , \ \lambda_3=-1 \)
Gli autospazi:
\(\displaystyle E_{\lambda_1}=\ker\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-a&1\\0&1&-a\end{pmatrix}\)
Ora per calcolare questo sistema non posso fare questa operazione sulle righe?
\(\displaystyle R_2 \rightarrow R_2+ aR_1 \)
\(\displaystyle E_{\lambda_1}=\ker\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-a^2\\0&1&-a\end{pmatrix} = \mathcal{L}\{(1,0,0)^t\}\) se \(\displaystyle [a\neq0] \)
Mentre se \(\displaystyle [a = 0] \Rightarrow E_{\lambda_1} = ? \)
Mi sembra proprio sbagliata l'operazione sulle righe a questo punto, perchè per \(\displaystyle [a=0] \):
\(\displaystyle \ker\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-a^2\\0&1&-a\end{pmatrix} \neq \ker\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-a&1\\0&1&-a\end{pmatrix} \)
Dove sta il marcio? Scusate se ho fatto un pasticcio, ma non riesco a capire cosa ci sia di sbagliato in questo approccio... Cioè vedo che per \(\displaystyle [a=0] \) quell'operazione non modifica affatto la matrice, ma bisogna stare attenti anche a tutto ciò?
se \(\displaystyle [a=0] \Rightarrow E_{\lambda_1} = \ker \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix} = \mathcal{L}\{(1,0,0)^t\} \)
Quindi il risultato che avevo ottenuto vale per ogni valore di \(\displaystyle a \)?
Non ci sto capendo un tubo, spero possiate aiutarmi
Aspetto vostre notizie, grazie tante come al solito!
Trovare a variare del parametro gli autospazi della matrice \(\displaystyle \begin{pmatrix}a&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix} \)
Ho provato a fare in questo modo: \(\displaystyle \det\begin{pmatrix}a-\lambda&0&0\\0&-\lambda&1\\0&1&-\lambda\end{pmatrix}=0 \Rightarrow (a-\lambda)(\lambda^{2}-1)=0 \)
Da cui gli autovalori sono: \(\displaystyle \lambda_1=a \ , \ \lambda_2=1 \ , \ \lambda_3=-1 \)
Gli autospazi:
\(\displaystyle E_{\lambda_1}=\ker\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-a&1\\0&1&-a\end{pmatrix}\)
Ora per calcolare questo sistema non posso fare questa operazione sulle righe?
\(\displaystyle R_2 \rightarrow R_2+ aR_1 \)
\(\displaystyle E_{\lambda_1}=\ker\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-a^2\\0&1&-a\end{pmatrix} = \mathcal{L}\{(1,0,0)^t\}\) se \(\displaystyle [a\neq0] \)
Mentre se \(\displaystyle [a = 0] \Rightarrow E_{\lambda_1} = ? \)
Mi sembra proprio sbagliata l'operazione sulle righe a questo punto, perchè per \(\displaystyle [a=0] \):
\(\displaystyle \ker\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-a^2\\0&1&-a\end{pmatrix} \neq \ker\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-a&1\\0&1&-a\end{pmatrix} \)
Dove sta il marcio? Scusate se ho fatto un pasticcio, ma non riesco a capire cosa ci sia di sbagliato in questo approccio... Cioè vedo che per \(\displaystyle [a=0] \) quell'operazione non modifica affatto la matrice, ma bisogna stare attenti anche a tutto ciò?
se \(\displaystyle [a=0] \Rightarrow E_{\lambda_1} = \ker \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix} = \mathcal{L}\{(1,0,0)^t\} \)
Quindi il risultato che avevo ottenuto vale per ogni valore di \(\displaystyle a \)?
Non ci sto capendo un tubo, spero possiate aiutarmi
Aspetto vostre notizie, grazie tante come al solito!
Risposte
Il marcio sta nel fatto che quando hai fatto l'operazione sulle righe ti sei dimenticato l' $1$ nella posizione (2,3), cioè invece di scrivere $1-a^2$ hai scritto $-a^2$.
Comunque è chiaro che, siccome gli autovalori sono $a,1,-1$, i casi critici sono $a=1$ e $a=-1$. Questi casi li puoi fare singolarmente.
Se $a ne pm 1$ allora i tre autovalori sono distinti e quindi i tre autospazi hanno dimensione $1$ ed è facile determinarli.
Comunque è chiaro che, siccome gli autovalori sono $a,1,-1$, i casi critici sono $a=1$ e $a=-1$. Questi casi li puoi fare singolarmente.
Se $a ne pm 1$ allora i tre autovalori sono distinti e quindi i tre autospazi hanno dimensione $1$ ed è facile determinarli.
Ah ecco... Grazie davvero, che sbadato che sono! 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo