Autospazi, autovalori

[Joker941]

Salve ragazzi ho un problema nella risoluzione di un punto di un quesito:.

1)Calcolare gli autovalori di f, descrivere i relativi autospazi e dimostrare che f è dimostrare che f è diagonalizzabile.

la matrice è
1 -4 10
0 -5 15
0 -2 0

Potete spiegrmi la risoluzione passo passo, e pure cosa si intende per moltepl. alg e molt geometrica

Grazie in Anticipo!

[minomic]

Ciao, inizia scrivendo il polinomio caratteristico e trovando le sue radici. Data la matrice $A$ devi quindi risolvere $$\det \left[A-\lambda I\right]=0$$ In questo modo trovi gli autovalori. La molteplicità algebrica è semplicemente la molteplicità di ogni soluzione. Ad esempio se il polinomio caratteristico viene $$\left(\lambda-1\right)^2\left(\lambda+2\right)$$ le sue soluzioni sono $1$ con molteplicità algebrica pari a $2$ e $-2$ con m.a. pari a $1$. La molteplicità geometrica la guardiamo dopo quando questa parte è chiara.

[Joker941]

"minomic":Ciao, inizia scrivendo il polinomio caratteristico e trovando le sue radici. Data la matrice $A$ devi quindi risolvere $$\det \left[A-\lambda I\right]=0$$ In questo modo trovi gli autovalori. La molteplicità algebrica è semplicemente la molteplicità di ogni soluzione. Ad esempio se il polinomio caratteristico viene $$\left(\lambda-1\right)^2\left(\lambda+2\right)$$ le sue soluzioni sono $1$ con molteplicità algebrica pari a $2$ e $-2$ con m.a. pari a $1$. La molteplicità geometrica la guardiamo dopo quando questa parte è chiara.

Ok,questa parte l'ho capita

[minomic]

Bene, invece la molteplicità geometrica è data da $$\dim A-\text{rank}\left[A-\lambda I\right]$$ In particolare una matrice è diagonalizzabile se e solo se la molteplicità algebrica è uguale a quella geometrica, per ognuno dei suoi autovalori.

[Joker941]

Okok,potresti svoglere invece quell'esercizio di prima,che era da un pò che ci provavo..

[Joker941]

"minomic":Bene, invece la molteplicità geometrica è data da $$\dim A-\text{rank}\left[A-\lambda I\right]$$ In particolare una matrice è diagonalizzabile se e solo se la molteplicità algebrica è uguale a quella geometrica, per ognuno dei suoi autovalori.

Okok,potresti svoglere invece quell'esercizio di prima,che era da un pò che ci provavo..

[minomic]

Abbiamo la matrice $$A=\begin{bmatrix}1&-4&10\\0&-5&15\\0&-2&0\end{bmatrix}$$ scriviamo la matrice $$A-\lambda I = \begin{bmatrix}1-\lambda&-4&10\\0&-5-\lambda&15\\0&-2&-\lambda\end{bmatrix}$$ e risolviamo $$\det\left[A-\lambda I\right]=0$$ Sviluppando lungo la prima colonna abbiamo $$\left(1-\lambda\right)\left(\lambda^2+5\lambda+30\right)=0$$ Risolvendo si ottiene $$\lambda_1 = 1 \qquad \lambda_2 = \frac{-5-\sqrt{95}i}{2} \qquad \lambda_3 = \frac{-5+\sqrt{95}i}{2}$$ A questo punto possiamo dire che $A$ non è diagonalizzabile nei reali ma lo è nei complessi. Ora per calcolare gli autospazi troviamo il $$\text{Ker}\left[A-\lambda I\right]$$ per ogni autovalore $\lambda$. Prendiamo $\lambda=1$: abbiamo $$\text{Ker}\left[A-I\right] = \text{Ker}\begin{bmatrix}0&-4&10\\0&-6&15\\0&-2&-1\end{bmatrix} = \text{Im}\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}$$ e si procede.

PS. Sicuro di aver copiato bene la matrice?

[Joker941]

"minomic":Abbiamo la matrice $$A=\begin{bmatrix}1&-4&10\\0&-5&15\\0&-2&0\end{bmatrix}$$ scriviamo la matrice $$A-\lambda I = \begin{bmatrix}1-\lambda&-4&10\\0&-5-\lambda&15\\0&-2&-\lambda\end{bmatrix}$$ e risolviamo $$\det\left[A-\lambda I\right]=0$$ Sviluppando lungo la prima colonna abbiamo $$\left(1-\lambda\right)\left(\lambda^2+5\lambda+30\right)=0$$ Risolvendo si ottiene $$\lambda_1 = 1 \qquad \lambda_2 = \frac{-5-\sqrt{95}i}{2} \qquad \lambda_3 = \frac{-5+\sqrt{95}i}{2}$$ A questo punto possiamo dire che $A$ non è diagonalizzabile nei reali ma lo è nei complessi. Ora per calcolare gli autospazi troviamo il $$\text{Ker}\left[A-\lambda I\right]$$ per ogni autovalore $\lambda$. Prendiamo $\lambda=1$: abbiamo $$\text{Ker}\left[A-I\right] = \text{Ker}\begin{bmatrix}0&-4&10\\0&-6&15\\0&-2&-1\end{bmatrix} = \text{Im}\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}$$ e si procede.

PS. Sicuro di aver copiato bene la matrice?

Perchè calcoli il Kerf? Per dire che è diagonalizzabile non dovremmo verificare l'uguaglianza tra la moltpl. alg e quella geometrica?

[minomic]

Diagonalizzabile lo è sicuramente, visto che tutti gli autovalori sono semplici. Calcolo il Ker per trovare gli autospazi.

[Joker941]

"minomic":Diagonalizzabile lo è sicuramente, visto che tutti gli autovalori sono semplici. Calcolo il Ker per trovare gli autospazi.

Ok, e una volta calcolato il kerf gli autospzi come si calcolano?

[minomic]

E' proprio quello l'autospazio!
Infatti la definizione di autovettore è $$v:\qquad Av = \lambda v$$ Quindi $$\left(A-\lambda I\right)v=0 \quad\Rightarrow\quad v \in \text{Ker}\left(A-\lambda I\right)$$