Asse e angolo di un tensore rot
ciao a tutti, ho un problema con un tensore:
dato un tensore appartenente alla categoria rot, sapreste spiegarmi come calcolare asse di rotazione e angolo di rotazione?
grazie mille
dato un tensore appartenente alla categoria rot, sapreste spiegarmi come calcolare asse di rotazione e angolo di rotazione?
grazie mille
Risposte
Ciao e benvenuto sul forum!
La tua domanda non è molto chiara, quindi aiutami a capire cosa vuoi sapere: tu hai un tensore che rappresenta una rotazione in \(\mathbb R^3\) e vuoi trovare l'asse intorno a cui il tensore effettua la rotazione e l'angolo di rotazione?
La tua domanda non è molto chiara, quindi aiutami a capire cosa vuoi sapere: tu hai un tensore che rappresenta una rotazione in \(\mathbb R^3\) e vuoi trovare l'asse intorno a cui il tensore effettua la rotazione e l'angolo di rotazione?
ciao grazie!
allora di preciso la richiesta e' questa:
io ho un tensore rot che e' rappresentato ovviamente da una matrice 3x3 rispetto alla base canonica. dopo aver verificato prima che $in$ orth e poi $in$ rot mi si chiede di trovare l'asse intorno a cui il tensore effettua la rotazione (quindi un vettore) e poi l' angolo di rotazione (ovviamente uno scalare).
Grazie!
allora di preciso la richiesta e' questa:
io ho un tensore rot che e' rappresentato ovviamente da una matrice 3x3 rispetto alla base canonica. dopo aver verificato prima che $in$ orth e poi $in$ rot mi si chiede di trovare l'asse intorno a cui il tensore effettua la rotazione (quindi un vettore) e poi l' angolo di rotazione (ovviamente uno scalare).
Grazie!
Ok, non hai fatto altro che ripetere quello che ho scritto io XD
Dunque, devi usare un Teorema di Eulero per le rotazioni di \(\mathbb R^3\). Mai sentito? Forza, fai un tentativo!
Dunque, devi usare un Teorema di Eulero per le rotazioni di \(\mathbb R^3\). Mai sentito? Forza, fai un tentativo!
il fatto e' che mi ero perso quella lezione di meccanica dei solidi, e ho gli appunti di una compagna di corso che pero su questo argomento e' stata molto sintetica.
comunque per l'asse mi pare di aver capito che basta trovare l'autovettore relativo all'autovalore uno della matrice ortogonale (chiamiamola R) e poi normalizzarlo. quello che non mi e' molto chiaro e' l'angolo di rotazione. sugli appunti il procedimento usato e' questo:
si trova un versore ortogonale all' asse di rotazione (chiamiamolo f) e mi dice che il coseno dell'angolo e' f*R*f (* prodotto scalare) mentre il seno dell' angolo e' (fxR*f)*e con e autovalore normalizzato trovato all inizio.
e' giusto tutto questo? grazie!
comunque per l'asse mi pare di aver capito che basta trovare l'autovettore relativo all'autovalore uno della matrice ortogonale (chiamiamola R) e poi normalizzarlo. quello che non mi e' molto chiaro e' l'angolo di rotazione. sugli appunti il procedimento usato e' questo:
si trova un versore ortogonale all' asse di rotazione (chiamiamolo f) e mi dice che il coseno dell'angolo e' f*R*f (* prodotto scalare) mentre il seno dell' angolo e' (fxR*f)*e con e autovalore normalizzato trovato all inizio.
e' giusto tutto questo? grazie!
Bene, siamo vicini!
L'asse di rotazione è la retta a cui appartiene l'autovettore dell'autovalore \(\lambda = 1\) [è una retta, non un vettore!].
Per l'angolo di rotazione, in generale esiste un sistema di riferimento in cui la matrice ha l'autovalore \(1\) in bella vista, e negli altri posti compaiono seni e coseni dell'angolo di rotazione.
Se non ricordo male, in questa rappresentazione la matrice appare più o meno così
\[
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \phi & \sin \phi \\
0 & -\sin \phi & \cos \phi \\
\end{bmatrix}
\]
[non sono sicuro della formula, ma è qualcosa di molto simile].
Il punto chiave è che la traccia di una matrice è invariante per cambi di sistema di riferimento, quindi la matrice che hai tu sotto mano ha ancora la stessa traccia, e questa informazione è cruciale.
Cerca su goooooogle e troverai di sicuro questa cosa scritta per bene.
L'asse di rotazione è la retta a cui appartiene l'autovettore dell'autovalore \(\lambda = 1\) [è una retta, non un vettore!].
Per l'angolo di rotazione, in generale esiste un sistema di riferimento in cui la matrice ha l'autovalore \(1\) in bella vista, e negli altri posti compaiono seni e coseni dell'angolo di rotazione.
Se non ricordo male, in questa rappresentazione la matrice appare più o meno così
\[
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \phi & \sin \phi \\
0 & -\sin \phi & \cos \phi \\
\end{bmatrix}
\]
[non sono sicuro della formula, ma è qualcosa di molto simile].
Il punto chiave è che la traccia di una matrice è invariante per cambi di sistema di riferimento, quindi la matrice che hai tu sotto mano ha ancora la stessa traccia, e questa informazione è cruciale.
Cerca su goooooogle e troverai di sicuro questa cosa scritta per bene.
[xdom="JoJo_90"]Spostato in Geometria e algebra lineare.[/xdom]
risolto alla fine, grazie mille per l'aiuto!
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