Asse di una parabola
Nel piano euclideo determinare l’asse della parabola \(\displaystyle x^2 + 2xy + y^2 + 2x + y = 0 \)
vorrei sapere se il ragionamento che ho usato è giusto...io ho pensato che per trovare l'asse della parabola devo trovare una retta che passa per il punto medio dei 2 punti dove la parabola interseca l'asse delle \(\displaystyle x \). mettendo l'asse delle \(\displaystyle y \) pari a \(\displaystyle 0 \) risolvo l'equazione e mi trovo che i 2 punti di intersezione sono \(\displaystyle P_1 = ( 0, 0 ) \) e \(\displaystyle P_2 = ( -2 , 0) \) . Per trovarmi l'asse mi devo trovare il vettore perpendicolare al vettore direzione dei punti \(\displaystyle P_1 \) \(\displaystyle P_2 \) e me lo trovo mettendo il prodotto scalare dei due vettori pari a \(\displaystyle 0 \) , quindi mi trovo il vettore direzione per il mio asse.. che sarebbe \(\displaystyle v = ( 0 , 1 ) \) visto che per avere una retta serve una direzione ed un punto, allora il punto per cui dovrà passare la retta sarà il punto medio dei punti \(\displaystyle P_1 \) e \(\displaystyle P_2 \) ovvero il punto \(\displaystyle P_m = (-1 , 0) \). A questo punto la retta in forma parametrica mi diventa:
\(\displaystyle r = (0 , 1)t + (-1 , 0) \). Potrebbe essere giusta questa soluzione? Grazie
vorrei sapere se il ragionamento che ho usato è giusto...io ho pensato che per trovare l'asse della parabola devo trovare una retta che passa per il punto medio dei 2 punti dove la parabola interseca l'asse delle \(\displaystyle x \). mettendo l'asse delle \(\displaystyle y \) pari a \(\displaystyle 0 \) risolvo l'equazione e mi trovo che i 2 punti di intersezione sono \(\displaystyle P_1 = ( 0, 0 ) \) e \(\displaystyle P_2 = ( -2 , 0) \) . Per trovarmi l'asse mi devo trovare il vettore perpendicolare al vettore direzione dei punti \(\displaystyle P_1 \) \(\displaystyle P_2 \) e me lo trovo mettendo il prodotto scalare dei due vettori pari a \(\displaystyle 0 \) , quindi mi trovo il vettore direzione per il mio asse.. che sarebbe \(\displaystyle v = ( 0 , 1 ) \) visto che per avere una retta serve una direzione ed un punto, allora il punto per cui dovrà passare la retta sarà il punto medio dei punti \(\displaystyle P_1 \) e \(\displaystyle P_2 \) ovvero il punto \(\displaystyle P_m = (-1 , 0) \). A questo punto la retta in forma parametrica mi diventa:
\(\displaystyle r = (0 , 1)t + (-1 , 0) \). Potrebbe essere giusta questa soluzione? Grazie
Risposte
Procedimento giusto ma calcoli sbagliati: il vettore direzione di $r$ non può essere quello. La parabola infatti è ruotata (vedi grafico, ma anche solo presenza del termine $2xy$) e il vettore $(0,1)$ indicherebbe che l'asse è parallelo all'asse delle $x$. Devi aver sbagliato qualcosa in quel passaggio.
Paola
Paola
hai ragione,ho visto adesso il grafico è non sta come immaginavo io..infatti quella direzione non va bene..ma a questo punto come faccio a trovarmi il vettore direzione dell'asse..potrei prendere come primo punto il vertice ma l'altro punto per imporre la direzione come faccio a trovarlo?
Beh poi patacca io a dire che il procedimento era giusto 
. Se la parabola è inclinata, l'asse non passa per il punto medio di quei punti!
Fossi in te ruoterei la parabola.
Paola
. Se la parabola è inclinata, l'asse non passa per il punto medio di quei punti! Fossi in te ruoterei la parabola.
Paola
Si può procedere anche cosi:
Punto improprio dell'asse:\( P(1,m,0)\)
diametro coniugato di \(P\): \( 2(1+m)x+2(1+m)y+m+2=0\)
Perpendicolarità tra il diametro coniugato e la direzione \(P\): \( m(1+m)-(1+m)=0\)
soluzioni: \( m=-1 \) da scartare e \( m=1 \)
equazione dell'asse: \(4x+4y+3=0\).
Punto improprio dell'asse:\( P(1,m,0)\)
diametro coniugato di \(P\): \( 2(1+m)x+2(1+m)y+m+2=0\)
Perpendicolarità tra il diametro coniugato e la direzione \(P\): \( m(1+m)-(1+m)=0\)
soluzioni: \( m=-1 \) da scartare e \( m=1 \)
equazione dell'asse: \(4x+4y+3=0\).
prime_number..: come faccio a ruotare la parabola ?questo problema è più complicato di quello che pensavo...
totissimus..: i tuoi metodi sono sempre molto immediati..ma questo volta non sono riuscito a capire quello che hai fatto...che cos'è un diametro coniugato...?e perchè la soluzione \(\displaystyle m=-1 \) è da scartare?
Sia $ \gamma $ la parabola.
Un vettore di direzione dell'asse di simmetria di $ \gamma $ appartiene all'autospazio $ V(0) $ relativo all'autovalore $ 0 $ della forma quadratica associata a $ \gamma $.
Poiché in questo caso specifico $ (0,0) \in \gamma $, intersecando la parabola con l'autospazio $ V(\lambda) $ relativo all'autovalore $ \lambda \ne 0 $ (che è ortogonale a $ V(0) $, essendo simmetrica la matrice associata alla forma quadratica di $ \gamma $) ottieni due punti reali (di cui uno l'origine); il punto medio $ M $ del segmento individuato dai due punti ottenuti da $ V(\lambda) \cap \gamma $ appartiene all'asse cercato.
A questo punto, basta trovare la retta per $ M $ avente direzione $ V(0) $.
Un vettore di direzione dell'asse di simmetria di $ \gamma $ appartiene all'autospazio $ V(0) $ relativo all'autovalore $ 0 $ della forma quadratica associata a $ \gamma $.
Poiché in questo caso specifico $ (0,0) \in \gamma $, intersecando la parabola con l'autospazio $ V(\lambda) $ relativo all'autovalore $ \lambda \ne 0 $ (che è ortogonale a $ V(0) $, essendo simmetrica la matrice associata alla forma quadratica di $ \gamma $) ottieni due punti reali (di cui uno l'origine); il punto medio $ M $ del segmento individuato dai due punti ottenuti da $ V(\lambda) \cap \gamma $ appartiene all'asse cercato.
A questo punto, basta trovare la retta per $ M $ avente direzione $ V(0) $.
Se interessa,esistono anche altri metodi ( più o meno equivalenti a quelli già indicati ). Basta ricordare che l'asse di un parabola è la polare della direzione perpendicolare a quella del centro della stessa parabola. Ora il centro della parabola è l'ntersezione della stessa con la retta impropria del suo piano e quindi per ottenere tale centro occorre risolvere il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}(x+y)^2+2xt+yt=0\\t=0\end{cases}\)
da cui si ricava che detto centro è la direzione \(\displaystyle C_{\infty}(1,-1,0) \)
Una direzione a questa perpendicolare è \(\displaystyle N_{\infty}(1,1,0) \)
A questo punto trovo la polare di \(\displaystyle N_{\infty} \) :
\(\displaystyle (1,1,0)\cdot\begin{pmatrix}2&2&2\\2&2&1\\2&1&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\t \end{pmatrix} =0\)
Facendo i calcoli ho l'equazione dell'asse :
\(\displaystyle 4x+4y+3=0 \)
\(\displaystyle \begin{cases}(x+y)^2+2xt+yt=0\\t=0\end{cases}\)
da cui si ricava che detto centro è la direzione \(\displaystyle C_{\infty}(1,-1,0) \)
Una direzione a questa perpendicolare è \(\displaystyle N_{\infty}(1,1,0) \)
A questo punto trovo la polare di \(\displaystyle N_{\infty} \) :
\(\displaystyle (1,1,0)\cdot\begin{pmatrix}2&2&2\\2&2&1\\2&1&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\t \end{pmatrix} =0\)
Facendo i calcoli ho l'equazione dell'asse :
\(\displaystyle 4x+4y+3=0 \)
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