Asintoti di una iperbole
Ciao!
Ho l'equazione di una iperbole $T$ $3x^2+8xy-3y^2+10y=0$ e mi chiede di trovare gli asintoti....
Ora il fatto è questo....il nostro professore difficilmente ci lascia equazioni di coniche con termini misti perchè per ridurle a forma canonica bisognerebbe lavorare con gli autovalori....però ho guardato il modo con cui trova gli asintoti di questa iperbole e mi ha lasciato assai sconvolto!
Lui se la riscrive come $(x+3y)(3x-y)+10y=0$ e poi dice che gli asintoti sono le rette $r: x+3y+h=0$ e $s:3x-y+k=0$ (perchèèè???
)
e poi dice: "dove h e k sono numeri reali tali che $r$$nn$$T$=$s$$nn$$T$$=0$ e quindi risulta h=-1 e k=3
Vorrei solo capire quello che ha fatto...soprattutto capire come si è ricavato l'equazione degli asintoti perchè secondo me non sta nè in cielo nè in terra dal momento che c'è nell'equazione dell'iperbole pure il +10y...
Grazie
Ho l'equazione di una iperbole $T$ $3x^2+8xy-3y^2+10y=0$ e mi chiede di trovare gli asintoti....
Ora il fatto è questo....il nostro professore difficilmente ci lascia equazioni di coniche con termini misti perchè per ridurle a forma canonica bisognerebbe lavorare con gli autovalori....però ho guardato il modo con cui trova gli asintoti di questa iperbole e mi ha lasciato assai sconvolto!
Lui se la riscrive come $(x+3y)(3x-y)+10y=0$ e poi dice che gli asintoti sono le rette $r: x+3y+h=0$ e $s:3x-y+k=0$ (perchèèè???
)e poi dice: "dove h e k sono numeri reali tali che $r$$nn$$T$=$s$$nn$$T$$=0$ e quindi risulta h=-1 e k=3
Vorrei solo capire quello che ha fatto...soprattutto capire come si è ricavato l'equazione degli asintoti perchè secondo me non sta nè in cielo nè in terra dal momento che c'è nell'equazione dell'iperbole pure il +10y...
Grazie
Risposte
Per la prima parte il problema è semplice: il tuo insegnante ha cercato le intersezioni della conica con la retta impropria, che si ottengono uguagliando a zero i termini di secondo grado. In questo modo si possono conoscere i coefficienti angolari degli asintoti dell'iperbole. Se la conica fosse stata un ellisse si sarebbero ottenute solo delle soluzioni immaginarie, nel caso della parabola solo una soluzione doppia che è il coefficiente angolare dell'asse di simmetria.
Non ho capito che cosa è stato fatto dopo, soprattutto perché io ho usato questo metodo solo per la classificazione delle coniche.
Non ho capito che cosa è stato fatto dopo, soprattutto perché io ho usato questo metodo solo per la classificazione delle coniche.
"Robbyx":
Ciao!
Ho l'equazione di una iperbole $T$ $3x^2+8xy-3y^2+10y=0$ e mi chiede di trovare gli asintoti....
Ora il fatto è questo....il nostro professore difficilmente ci lascia equazioni di coniche con termini misti perchè per ridurle a forma canonica bisognerebbe lavorare con gli autovalori....però ho guardato il modo con cui trova gli asintoti di questa iperbole e mi ha lasciato assai sconvolto!
Lui se la riscrive come $(x+3y)(3x-y)+10y=0$ e poi dice che gli asintoti sono le rette $r: x+3y+h=0$ e $s:3x-y+k=0$ (perchèèè???
e poi dice: "dove h e k sono numeri reali tali che $r$$nn$$T$=$s$$nn$$T$$=0$ e quindi risulta h=-1 e k=3
Devi tenere presente che un'iperbole con asintoti $ax+by+c=0$ e $dx+ey+f=0$
ha equazione
$(ax+by+c)(dx+ey+f) = k$ con $k \ne 0$ .
"franced":
Devi tenere presente che un'iperbole con asintoti $ax+by+c=0$ e $dx+ey+f=0$
ha equazione
$(ax+by+c)(dx+ey+f) = k$ con $k \ne 0$ .
Ok...però qui verrebbe $(x+3y)(3x-y)=-10y$
e il $-10y$ però non è un numero....un $k$....
"@melia":
il tuo insegnante ha cercato le intersezioni della conica con la retta impropria, che si ottengono uguagliando a zero i termini di secondo grado. In questo modo si possono conoscere i coefficienti angolari degli asintoti dell'iperbole.
Cioè vuol dire che ha posto $3x^2=0$ e $-3y^2=0$
poi.....retta impropria??
.....uffa la solita storia....non ci spiega le cose e poi le va a usare.....
L'equazione dell'iperbole è
$3x^2+8xy-3y^2+10y=0$ ;
osserva che
$(x + 3y) (3x - y) = 3x^2 + 8 xy - 3y^2$
a questo punto sai che gli asintoti sono paralleli alle rette
$x+3y=0$ e $3x-y=0$
quindi l'equazione dell'iperbole può essere scritta nel modo seguente:
$(x+3y+h)(3x-y+k) - gamma = 0$
a questo punto svolgi e trovi $h$, $k$, $gamma$ .
$3x^2+8xy-3y^2+10y=0$ ;
osserva che
$(x + 3y) (3x - y) = 3x^2 + 8 xy - 3y^2$
a questo punto sai che gli asintoti sono paralleli alle rette
$x+3y=0$ e $3x-y=0$
quindi l'equazione dell'iperbole può essere scritta nel modo seguente:
$(x+3y+h)(3x-y+k) - gamma = 0$
a questo punto svolgi e trovi $h$, $k$, $gamma$ .
Comunque data l'equazione $3x^2 + 8xy - 3y^2 + 10y = 0$ si ha che i coefficienti angolari degli asintoti dell'iperbole soddisfano l'equazione $3 + 8m - 3m^2$. A questo punto se trovi il centro dell'iperbole, hai finito scrivendo l'equazione di una retta passante per un punto con dato coefficiente angolare.
Mmmm....avete detto tutti quanti cose di cui completamente non sono a conoscenza.....magari adesso dò un'occhiata al libro alla luce di quello che mi avete detto e vedo se qualche lampadina si accende.....vi faccio sapere!e grazie sempre!
"NightKnight":
Comunque data l'equazione $3x^2 + 8xy - 3y^2 + 10y = 0$ si ha che i coefficienti angolari degli asintoti dell'iperbole soddisfano l'equazione $3 + 8m - 3m^2$. A questo punto se trovi il centro dell'iperbole, hai finito scrivendo l'equazione di una retta passante per un punto con dato coefficiente angolare.
Ok, anche io la insegno così a ingegneria.
Però, con il metodo che ho scritto prima, calcolando il valore di $gamma$
hai la conferma che si tratta effettivamente di un'iperbole
(il tutto senza calcolare nessun determinante!!).
Ad esempio, se hai la conica
$3 x^2 + 8 x y + 11 x - 3 y^2 - 7 y - 4 = 0$
c'è il forte "rischio" si pensare che le rette che si trovano sono gli asintoti, invece...
Con il metodo esposto sopra si trova $gamma=0$: si tratta di una conica degenere.
Francesco ho rivisto un po' il mio testo però lui pone più la questione sull'ampliamento complesso dello spazio, tirando in ballo punti e rette impropri....tutte cose che al corso non abbiamo fatto....a me interesserebbero fondamentalmente capire 2 cose:
per prima cosa per quello che so io l'equazione canonica di una iperbole è $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ che scritta in altro modo diventa $(x/a+y/b)(x/a-y/b)=1$ e $(x/a+y/b)=0$ e $(x/a-y/b)=0$ sono le equazioni degli asintoti.....ora non capisco....se l'equazione dell'esercizio che ho proproposto, scritta opportunamente, è $(x+3y)(3x-y)+10y=0$ non capiso dove sta il presupposto teorico per dire che gli asintoti sono del tipo $x+3y+h=0$ e $3x-y+k=0$.....e se l'elemento che restava fuori dal raccoglimento invece di 10y era 10x oppure 10 oppure10x^3.....10y^n......che succedeva??potevamo ragionare allo stesso modo?A me riguardo questa cosa interesserebbe avere i presupposti teorici chiari.
Come seconda cosa quando abbiamo l'equazione generica di una conica che presenta(come anche nel nostro esempio) il termine misto, si procede con la diagonalizzazione della matrice 3X3 della conica, si trovano gli zeri del polinomio caratteristico $lambda_1 e lambda_2$ e poi quelli che dovrebbero essere gli autovalori se non sbaglio....quelli che si trovano facendo $A_3_3((x),(y))=lambda_1((x),(y))$ e poi $A_3_3((x),(y))=lambda_2((x),(y))$(con $A_3_3$ matrice 3X3 della conica).....ecco da questo punto in poi sia guardando gli appunti che il libro non capisco come si procede...
Mi interessano sapere queste due cose perchè se mi ritrovo una iperbole posso trovare gli asintoti per esempio in un modo più semplice però se avessi un'altra conica che magari si risolve in modo semplice ma non ci arrivo me la riduco a forma canonica anche con gli autovalori, allungo un po' la strada ma quantomeno ci arrivo.
per prima cosa per quello che so io l'equazione canonica di una iperbole è $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ che scritta in altro modo diventa $(x/a+y/b)(x/a-y/b)=1$ e $(x/a+y/b)=0$ e $(x/a-y/b)=0$ sono le equazioni degli asintoti.....ora non capisco....se l'equazione dell'esercizio che ho proproposto, scritta opportunamente, è $(x+3y)(3x-y)+10y=0$ non capiso dove sta il presupposto teorico per dire che gli asintoti sono del tipo $x+3y+h=0$ e $3x-y+k=0$.....e se l'elemento che restava fuori dal raccoglimento invece di 10y era 10x oppure 10 oppure10x^3.....10y^n......che succedeva??potevamo ragionare allo stesso modo?A me riguardo questa cosa interesserebbe avere i presupposti teorici chiari.
Come seconda cosa quando abbiamo l'equazione generica di una conica che presenta(come anche nel nostro esempio) il termine misto, si procede con la diagonalizzazione della matrice 3X3 della conica, si trovano gli zeri del polinomio caratteristico $lambda_1 e lambda_2$ e poi quelli che dovrebbero essere gli autovalori se non sbaglio....quelli che si trovano facendo $A_3_3((x),(y))=lambda_1((x),(y))$ e poi $A_3_3((x),(y))=lambda_2((x),(y))$(con $A_3_3$ matrice 3X3 della conica).....ecco da questo punto in poi sia guardando gli appunti che il libro non capisco come si procede...
Mi interessano sapere queste due cose perchè se mi ritrovo una iperbole posso trovare gli asintoti per esempio in un modo più semplice però se avessi un'altra conica che magari si risolve in modo semplice ma non ci arrivo me la riduco a forma canonica anche con gli autovalori, allungo un po' la strada ma quantomeno ci arrivo.
"Robbyx":
...
l'equazione canonica di una iperbole è $x^2/a^2-y^2/b^2=1$
...
Nel caso del tuo esercizio l'equazione non è canonica. Dovresti cambiare
il sistema di coordinate, ma non è il procedimento più veloce.
"franced":
Nel caso del tuo esercizio l'equazione non è canonica. Dovresti cambiare
il sistema di coordinate, ma non è il procedimento più veloce.
Sisi lo so che non è canonica si vede! Vorrei solo avere una risposta, se possibile, alle domande che ho posto nell'ultimo intervento.
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