Area di rettangoli intersecati da un cerchio
Per iniziare buongiorno a tutti.
Ho un problema di geometria ma prima di passare al dettaglio inizio dalla premessa che il mio percorso di studi non m'ha portato allo studio della geometria / trigonometria quindi non escluso che la richiesta di seguito sia mancante di elementi per essere soddisfatta.
Fatta questa premessa per la quale vi chiedo scusa da subito, da "appassionato informatico" ho la necessità di calcolare l'area di ciascun rettangolo della matrice che segue ed inscritti in un cerchio:
Della figura di cui sopra conosco:
- Le coordinate del centro corrispondenti all'origine degli assi [0,0]
- Le coordinate [x,y] di ciascun vertice A, B, C e D di ogni rettangolo e di conseguenza la lunghezza dei segmenti AB e BC
- Il raggio del cerchio (75.000 micron)
Non conosco invece:
- Le coordinate E, F corrispondenti ai punti in cui il cerchio interseca il segmento BC e CD
Quel che vorrei calcolare è l'area della figura che cade all'interno del cerchio, anche approssimando il segmento FE da arco a linea retta.
Il tutto è propedeutico poi per tradurre la formula in un algoritmo informatico che mi dica per ciascun quadrato della griglia la cui area sia:
- completa al 100% (AB * BC)
- completa almeno al 70%
- incompleta
Spero d'avervi fornito quanti più elementi possibile per soddisfare la mia richiesta ma se non fosse, rimango a disposizione per aggiungere ogni altro dettagli che possiate ritener utile.
Anticipatamente grazie a tutti!
Stefano
Ho un problema di geometria ma prima di passare al dettaglio inizio dalla premessa che il mio percorso di studi non m'ha portato allo studio della geometria / trigonometria quindi non escluso che la richiesta di seguito sia mancante di elementi per essere soddisfatta.
Fatta questa premessa per la quale vi chiedo scusa da subito, da "appassionato informatico" ho la necessità di calcolare l'area di ciascun rettangolo della matrice che segue ed inscritti in un cerchio:
Della figura di cui sopra conosco:
- Le coordinate del centro corrispondenti all'origine degli assi [0,0]
- Le coordinate [x,y] di ciascun vertice A, B, C e D di ogni rettangolo e di conseguenza la lunghezza dei segmenti AB e BC
- Il raggio del cerchio (75.000 micron)
Non conosco invece:
- Le coordinate E, F corrispondenti ai punti in cui il cerchio interseca il segmento BC e CD
Quel che vorrei calcolare è l'area della figura che cade all'interno del cerchio, anche approssimando il segmento FE da arco a linea retta.
Il tutto è propedeutico poi per tradurre la formula in un algoritmo informatico che mi dica per ciascun quadrato della griglia la cui area sia:
- completa al 100% (AB * BC)
- completa almeno al 70%
- incompleta
Spero d'avervi fornito quanti più elementi possibile per soddisfare la mia richiesta ma se non fosse, rimango a disposizione per aggiungere ogni altro dettagli che possiate ritener utile.
Anticipatamente grazie a tutti!
Stefano
Risposte
Mmmmm, quello che non capisco è: tu vuoi semplicemente costruire una "tabella" (chiamiamola così) nella quale per ogni rettangolo tu sappia se appartiene ad una di quelle tre categorie? E per essere precisi: quando dici che l'area è completa, intendi dire che è interna al cerchio fino ad una certa percentuale, giusto? Secondo me, allora, più che calcolare l'area potresti fare una discussione sulla posizione dei vari punti (vertici dei rettangoli) perché è ovvio che se alcuni di tali vertici si trovano in una determinata posizione, allora la superficie del rettangolo cadrà dentro, fuori o sul bordo del cerchio stesso, non ti pare? Io credo che dovresti ragionare usando tali coordinate e la distanza di esse dal centro del cerchio.
Ad esempio (e qui la cosa mi pare facile) se indichi con $A_i, B_i, C_i, D_i$ i vertici di ogni rettangolo $Q_i$ di cui, considerando che sta facendo una griglia, credo tu possa dare un'ordinamento e anche una espressione precisa delle coordinate dipendente dal parametro $i$) puoi costruire le seguenti funzioni
$$R_i=\max[d(O,V_i)\ |\ V_i\in\{A_i,B_i,C_i,D_i\}],\qquad r_i=\min[d(O,V_i)\ |\ V_i\in\{A_i,B_i,C_i,D_i\}]$$
le quali forniscono la distanza massima e minima dei vertici del rettangolo fissato dal centro del cerchio, e come puoi verificare facilmente, nel caso in cui si abbia $R_ir$ il rettangolo è tutto esterno. A questo punto puoi cercare di costruire altre funzioni simili per valutare cosa accade ai rettangoli sul bordo o per i quali, in generale, si abbia $r_i\le r\le R_i$.
Per il momento rifletti su questo, poi ne riparliamo.
Ad esempio (e qui la cosa mi pare facile) se indichi con $A_i, B_i, C_i, D_i$ i vertici di ogni rettangolo $Q_i$ di cui, considerando che sta facendo una griglia, credo tu possa dare un'ordinamento e anche una espressione precisa delle coordinate dipendente dal parametro $i$) puoi costruire le seguenti funzioni
$$R_i=\max[d(O,V_i)\ |\ V_i\in\{A_i,B_i,C_i,D_i\}],\qquad r_i=\min[d(O,V_i)\ |\ V_i\in\{A_i,B_i,C_i,D_i\}]$$
le quali forniscono la distanza massima e minima dei vertici del rettangolo fissato dal centro del cerchio, e come puoi verificare facilmente, nel caso in cui si abbia $R_i
Per il momento rifletti su questo, poi ne riparliamo.
Ciao Ciampax. Mhm... non è esatto ma capisco di non essermi spiegato come avrei dovuto...
Quel che ho è la tabella. Più nel dettaglio quel che ho è una griglia di dice (microchip) tipo su un wafer di silicio prima del taglio.
Il wafer è circolare ed ha raggio 75.000 micron.
Di questa griglia di dice "fisici" ho bisogno di costruire una mappa digitale identificando quali dice sono fuori dal wafer perchè incompleti, quali dice cadono in coincidenza dell'edge del wafer e quali invece sono completi.
Per ciascun dice ho le coordinate x,y di ogni angolo (espressi in micron su un sistema di coordinate cartesiane dove il centro fisico del wafer corrisponde alla coordinata 0,0).
Sulla base di questa informazione, date le 4 coordinate dei 4 angoli di un die a caso, ho bisogno di sapere se è completo al 100%, se è completo >= 70% o se è incompleto... il tutto al fine di ottenere una griglia come quella che segue:
in cui:
- I dice verdi e rossi sono completi al 100%
- I dice gialli cadono in corrispondenza dell'edge fisico del wafer e sono completi (almeno) al 70%
- I dice bianchi sono incompleti o mancanti
In ogni caso il tuo è un ottimo spunto da cui devo partire. Inizio a ragionarci. Grazie mille!
Stefano
Quel che ho è la tabella. Più nel dettaglio quel che ho è una griglia di dice (microchip) tipo su un wafer di silicio prima del taglio.
Il wafer è circolare ed ha raggio 75.000 micron.
Di questa griglia di dice "fisici" ho bisogno di costruire una mappa digitale identificando quali dice sono fuori dal wafer perchè incompleti, quali dice cadono in coincidenza dell'edge del wafer e quali invece sono completi.
Per ciascun dice ho le coordinate x,y di ogni angolo (espressi in micron su un sistema di coordinate cartesiane dove il centro fisico del wafer corrisponde alla coordinata 0,0).
Sulla base di questa informazione, date le 4 coordinate dei 4 angoli di un die a caso, ho bisogno di sapere se è completo al 100%, se è completo >= 70% o se è incompleto... il tutto al fine di ottenere una griglia come quella che segue:
in cui:
- I dice verdi e rossi sono completi al 100%
- I dice gialli cadono in corrispondenza dell'edge fisico del wafer e sono completi (almeno) al 70%
- I dice bianchi sono incompleti o mancanti
In ogni caso il tuo è un ottimo spunto da cui devo partire. Inizio a ragionarci. Grazie mille!
Stefano
Se ci rifletti bene, quello che ti ho suggerito io ti assicura quali sono i dice al 100% e quelli allo 0%. Per cui credo potresti usare qualche regola simile per trovare gli altri.
Ciao Ciampax,
sequendo il tuo suggerimento ho discriminato i dice completi sicuramente al 100%, i dice sicuramente incompleti al 100% ma non so come calcolare la percentuale di quelli intersecati dal cerchio.
Solo per fare un esempio su tutti, ho un dice con queste caratteristiche (valori espressi in micron):
Coordinate centrali del die (x,y) : [ 29870.4 , 67144.9 ]
Dimensione del die (x,y) : [ 5430.52 x 4320.54 ]
Coordinate dell'angolo superiore sinistro (A) : [ 27155.14 , 69305.17 ]
Coordinate dell'angolo superiore destro (B) : [32585.66 , 69305.17 ]
Coordinate dell'angolo inferiore sinistro (C) : [ 27155.14 , 64984.63 ]
Coordinate dell'angolo inferiore destro (D) : [ 32585.66 , 64984.63 ]
Per ciascuna coordinata ho quindi calcolato la distanza rispetto all'origine degli assi $sqrt((x^2) + (y^2))$ :
A: 74435.261920332
B: 76583.495783129
C: 70430.133924738
D: 72696.81818259
Ora, considerando il raggio di 75.000 micron, solo l'angolo B è fuori dall'edge ma in quale percentuale?
O meglio: in quale percentuale l'area del dice è all'interno del wafer?
Nel mio ricercare su internet ho trovato una possibile soluzione al mio problema con la regola di Simpson/Cavalieri ma onestamente non saprei se l'approccio è corretto e come applicarla.
Sono sulla strada giusta? Con i valori di cui sopra e conoscendo l'area del dice (base x altezza) posso sapere in che percentuale è parziale o mi mancano ancora elementi?
sequendo il tuo suggerimento ho discriminato i dice completi sicuramente al 100%, i dice sicuramente incompleti al 100% ma non so come calcolare la percentuale di quelli intersecati dal cerchio.
Solo per fare un esempio su tutti, ho un dice con queste caratteristiche (valori espressi in micron):
Coordinate centrali del die (x,y) : [ 29870.4 , 67144.9 ]
Dimensione del die (x,y) : [ 5430.52 x 4320.54 ]
Coordinate dell'angolo superiore sinistro (A) : [ 27155.14 , 69305.17 ]
Coordinate dell'angolo superiore destro (B) : [32585.66 , 69305.17 ]
Coordinate dell'angolo inferiore sinistro (C) : [ 27155.14 , 64984.63 ]
Coordinate dell'angolo inferiore destro (D) : [ 32585.66 , 64984.63 ]
Per ciascuna coordinata ho quindi calcolato la distanza rispetto all'origine degli assi $sqrt((x^2) + (y^2))$ :
A: 74435.261920332
B: 76583.495783129
C: 70430.133924738
D: 72696.81818259
Ora, considerando il raggio di 75.000 micron, solo l'angolo B è fuori dall'edge ma in quale percentuale?
O meglio: in quale percentuale l'area del dice è all'interno del wafer?
Nel mio ricercare su internet ho trovato una possibile soluzione al mio problema con la regola di Simpson/Cavalieri ma onestamente non saprei se l'approccio è corretto e come applicarla.
Sono sulla strada giusta? Con i valori di cui sopra e conoscendo l'area del dice (base x altezza) posso sapere in che percentuale è parziale o mi mancano ancora elementi?
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