Applicazioni lineari tra spazi di polinomi
ciao a tutti,
avendo la mia insegnante sorvolato quasi del tutto ciò che riguarda i sotto spazi di polinomi,gli esercizi mi rimangono sempre rognosi...e tuttora non ho capito certe cose
Tipo
data l'applicazione $ f:RR_3[x]->RR_3[x] $ definita da $ f(p(x))=p(x+1) $ scrivere la matrice associata alle basi canoniche.
Che procedimento uso?
quello che so è che $p(x)$ è un generico polinomio appartenente a $RR_3[x]$ del tipo $ a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 $ ed è un sottospazio vettoriale con base $ (1,x,x^2,x^3) $ ....ora,il suo trasformato dovrebbe essere se non sbaglio $ p(x+1)=a_0+a_1(x+1)+a_2(x+1)^2+a_3(x+1)^3 $ rispettivamente con questa base $ (1,x+1,(x+1)^2,(x+1)^3) $ ...
come faccio ora a scrivere la matrice associata alle 2 basi come facevo con le ennuple di vettori?
avendo la mia insegnante sorvolato quasi del tutto ciò che riguarda i sotto spazi di polinomi,gli esercizi mi rimangono sempre rognosi...e tuttora non ho capito certe cose
Tipo
data l'applicazione $ f:RR_3[x]->RR_3[x] $ definita da $ f(p(x))=p(x+1) $ scrivere la matrice associata alle basi canoniche.
Che procedimento uso?
quello che so è che $p(x)$ è un generico polinomio appartenente a $RR_3[x]$ del tipo $ a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 $ ed è un sottospazio vettoriale con base $ (1,x,x^2,x^3) $ ....ora,il suo trasformato dovrebbe essere se non sbaglio $ p(x+1)=a_0+a_1(x+1)+a_2(x+1)^2+a_3(x+1)^3 $ rispettivamente con questa base $ (1,x+1,(x+1)^2,(x+1)^3) $ ...
come faccio ora a scrivere la matrice associata alle 2 basi come facevo con le ennuple di vettori?
Risposte
Per esempio puoi svolgere i conti, esprimendo $a_0+a_1(x+1)+...+a_3(x+1)^3$ come combinazione lineare di $1, x, x^2, x^3$. Oppure puoi osservare che conosci immediatamente la matrice associata a questa applicazione lineare se metti in partenza la base $1, x, x^2, x^3$ e in arrivo la base $1, (x+1), (x+1)^2, (x+1)^3$, quindi ragionare con le matrici di cambiamento di coordinate. In ultima analisi la mole di conti è la stessa, il secondo metodo è più involuto.
perche mi srvono le matrici del cambiamento di coordinate se non devo operare al di fuori della base canonica?
...forse è sciocco ma tecnicamente come faccio a ricavare ad esempio $f(1),f(x),f(x^2),f(x^3)$?
perche in questo caso le coordinate della base canonica di arrivo non dovrebbero essere sempre i coefficienti $a_0,a_1,a_2,a_3$?
provo difficoltò a fare quello che gia faccio con le ennuple di vettori in pratica...
...forse è sciocco ma tecnicamente come faccio a ricavare ad esempio $f(1),f(x),f(x^2),f(x^3)$?
perche in questo caso le coordinate della base canonica di arrivo non dovrebbero essere sempre i coefficienti $a_0,a_1,a_2,a_3$?
provo difficoltò a fare quello che gia faccio con le ennuple di vettori in pratica...
Ok, lascia perdere le matrici di cambiamento di base.
Per esempio puoi svolgere i conti, esprimendo $a_0+a_1(x+1)+...+a_3(x+1)^3$ come combinazione lineare di $1, x, x^2, x^3$.
dunque,
se metto in evidenza la base in questo modo
$a_0+a_1(x+1)+a_2(x+1)^2+a_3(x+1)^3=a_0+a_1x+a_2+2a_2x+a_2x^2+a_3+3a_3x+3a_3x^2+a_3x^3=1(a_0+a_1+a_2+a_3)+x(a_1+2a_2+3a_3)+x^2(a_2+3a_3)+x^3(a_3)$
ottengo la combinazione lineare cercata?
se metto in evidenza la base in questo modo
$a_0+a_1(x+1)+a_2(x+1)^2+a_3(x+1)^3=a_0+a_1x+a_2+2a_2x+a_2x^2+a_3+3a_3x+3a_3x^2+a_3x^3=1(a_0+a_1+a_2+a_3)+x(a_1+2a_2+3a_3)+x^2(a_2+3a_3)+x^3(a_3)$
ottengo la combinazione lineare cercata?
Esatto, questo dicevo. Adesso sei in grado di scrivere la matrice associata ad $f$ rispetto alla base $1, x, x^2, x^3$. Basta applicare la definizione.
"dissonance":
Adesso sei in grado di scrivere la matrice associata ad $f$ rispetto alla base $1, x, x^2, x^3$. Basta applicare la definizione.
è qui che ho dei dubbi,cioè non so se è giusto fare questo:
$ f(1)=(a_0+a_1+a_2+a_3) $
$ f(x)=(a_1+2a_2+3a_3) $
$ f(x^2)=(a_2+3a_3) $
$ f(x^3)=(a_3) $
e ora? le colonne della matrice quali sono?
$ ( ( a_0+a_1+a_2+a_3 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , a_1+2a_2+3a_3 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , a_2+3a_3 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , a_3 )) $
queste? non ne sono per niente convinto...
Infatti è sbagliato. Chi sono $a_0, a_1, a_2, a_3$? Devi avere un risultato numerico, non devono esserci parametri. Riprova. Calcola bene $f(1)$, tenendo presente che $1=a_0+a_1 x+ a_2 x^2 +a_3 x^3$ con $a_0=1, a_1=0, a_2=0, a_3=0$. Ripeti per gli altri elementi della base.
dunque $a_0,a_1,a_2,a_3$ sarebbero i parametri delle componeti di una combinazione lineare della base(giusto?)
$f(1)=1$
$f(x)=1+x$
$f(x^2)=(1+x)^2=1+2x+x^2$
$f(x^3)=(x+1)^3=1+3x+3x^2+x^3$
in componenti:
$f(1,0,0,0)=(1,0,0,0)$
$f(0,1,0,0)=(1,1,0,0)$
$f(0,0,1,0)=(1,2,1,0)$
$f(0,0,0,1)=(1,3,3,1)$
mettendo in colonna le componenti dei vettori della base si ha $M_e(f)$= $ ( ( 1 , 1 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 2 , 3 ),( 0 , 0 , 1 , 3 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) ) $.
prendo un'altro esercizio per conferma.Sia $T:RR_3[x]->RR_3[x]$ l'applicazione definita $T(f(x))=xf'(x)-f(x)$
per ogni polinomio $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$ il suo trasformato $T(f(x))=-a_0+a_2x^2+2a_3x^3$
$T(1)=-1$
$T(x)=0$
$T(x^2)=x^2$
$T(x^3)=2x^3$
in componenti
$T(1,0,0,0)=(-1,0,0,0)$
$T(0,1,0,0)=(0,0,0,0)$
$T(0,0,1,0)=(0,0,1,0)$
$T(0,0,0,1)=(0,0,0,2)$
$M_e(T)= ( ( -1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1, 0 ),( 0 , 0 , 0 , 2 ) ) $
$f(1)=1$
$f(x)=1+x$
$f(x^2)=(1+x)^2=1+2x+x^2$
$f(x^3)=(x+1)^3=1+3x+3x^2+x^3$
in componenti:
$f(1,0,0,0)=(1,0,0,0)$
$f(0,1,0,0)=(1,1,0,0)$
$f(0,0,1,0)=(1,2,1,0)$
$f(0,0,0,1)=(1,3,3,1)$
mettendo in colonna le componenti dei vettori della base si ha $M_e(f)$= $ ( ( 1 , 1 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 2 , 3 ),( 0 , 0 , 1 , 3 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) ) $.
prendo un'altro esercizio per conferma.Sia $T:RR_3[x]->RR_3[x]$ l'applicazione definita $T(f(x))=xf'(x)-f(x)$
per ogni polinomio $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$ il suo trasformato $T(f(x))=-a_0+a_2x^2+2a_3x^3$
$T(1)=-1$
$T(x)=0$
$T(x^2)=x^2$
$T(x^3)=2x^3$
in componenti
$T(1,0,0,0)=(-1,0,0,0)$
$T(0,1,0,0)=(0,0,0,0)$
$T(0,0,1,0)=(0,0,1,0)$
$T(0,0,0,1)=(0,0,0,2)$
$M_e(T)= ( ( -1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1, 0 ),( 0 , 0 , 0 , 2 ) ) $
Il secondo è giusto, del primo non ho controllato i calcoli ma mi paiono giusti. Solo un appunto sul linguaggio:
No. $a_0, a_1, a_2, a_3$ sono le coordinate del vettore $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$ rispetto alla base $1, x, x^2, x^3$. Purtroppo questa terminologia non è universale, e una terminologia universale non c'è; questa è quella usata da Sergio nel suo Algebra lineare for dummies a cui aderisco volentieri perché la trovo molto chiara.
dunque a0,a1,a2,a3 sarebbero i parametri delle componeti di una combinazione lineare della base(giusto?)
No. $a_0, a_1, a_2, a_3$ sono le coordinate del vettore $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$ rispetto alla base $1, x, x^2, x^3$. Purtroppo questa terminologia non è universale, e una terminologia universale non c'è; questa è quella usata da Sergio nel suo Algebra lineare for dummies a cui aderisco volentieri perché la trovo molto chiara.
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