Applicazioni lineari ed endomorfismi, diagonalizzazione
sia $\varphi$ : $R^2$ -----> $R^2$ un'applicazione lineare così definita:
$\varphi$ ($e_1$) = (t - 4)$e_1$ + $e_2$ , $\varphi$ ($e_2$) = 5$e_1$ + t$e_2$
1. scrivere la matrice associata a $\varphi$
2. determianare i valori di tper cui $\varphi$ è un isomorfismo
3. determinare nel caso in cui t= -5 Ker e Im di $\varphi$
4. determinare dato t= -5 $\varphi$^-1$([1, 2])
5. studiare la diagonalizzabilità di $\varphi$ e se possibile diagonalizzarla nel caso in cui t= -1 .
il primo punto lo so fare il resto ho difficoltà, tra un po ho l'esame.
AIUTATEMIII VI PREGOOOO
$\varphi$ ($e_1$) = (t - 4)$e_1$ + $e_2$ , $\varphi$ ($e_2$) = 5$e_1$ + t$e_2$
1. scrivere la matrice associata a $\varphi$
2. determianare i valori di tper cui $\varphi$ è un isomorfismo
3. determinare nel caso in cui t= -5 Ker e Im di $\varphi$
4. determinare dato t= -5 $\varphi$^-1$([1, 2])
5. studiare la diagonalizzabilità di $\varphi$ e se possibile diagonalizzarla nel caso in cui t= -1 .
il primo punto lo so fare il resto ho difficoltà, tra un po ho l'esame.
AIUTATEMIII VI PREGOOOO
Risposte
per quanto riguarda la mAtrice associata a tale aplicazione essa dovrebbe essere la seguente:
$((t-4,5),(1,t))$
poi volevo chiedere.... per rispondere ai punti restanti devo lavorare sempre facendo riferimetno a questa matrice vero?? devo sempre lavorare su questa matrice ??
grazie..
$((t-4,5),(1,t))$
poi volevo chiedere.... per rispondere ai punti restanti devo lavorare sempre facendo riferimetno a questa matrice vero?? devo sempre lavorare su questa matrice ??
grazie..
Per il punto 2:
sai che $\Phi$ è una matrice quadrata e quindi è un endomorfismo.
Ora per mostrare che è un isomorfismo ti basta mostrare che è invertibile.
Ora la domanda è:
quando una matrice è invertibile?
Sono sicuro che la risposta la sai...
sai che $\Phi$ è una matrice quadrata e quindi è un endomorfismo.
Ora per mostrare che è un isomorfismo ti basta mostrare che è invertibile.
Ora la domanda è:
quando una matrice è invertibile?
Sono sicuro che la risposta la sai...
Per il punto 2 puoi calcolare il det.
per misanino:
una mtrice quadrata è invertibile se e solo se il suo determiante è non nullo vero??
quindi in questo caso:
det = [(t - 4) ( t)] - 5 = $t^2$ -4t - 5
pongo tutto diverso da zero e trovo che il determiannte è non nullo , cioè diverso da zero, per t $!=$ 5 e t $!=$ 1
e quindi per questi valori l'applicazione è un isomorfismo... vero??
ho detto giusto..??
grazie 1000 per l'aiuto
............e per il resto??
una mtrice quadrata è invertibile se e solo se il suo determiante è non nullo vero??
quindi in questo caso:
det = [(t - 4) ( t)] - 5 = $t^2$ -4t - 5
pongo tutto diverso da zero e trovo che il determiannte è non nullo , cioè diverso da zero, per t $!=$ 5 e t $!=$ 1
e quindi per questi valori l'applicazione è un isomorfismo... vero??
ho detto giusto..??
grazie 1000 per l'aiuto
............e per il resto??
se ho fatto bene il punto 2...ora mi spiegate come calcolare il KER e l'IM ?
"qwert90":
per misanino:
una mtrice quadrata è invertibile se e solo se il suo determiante è non nullo vero??
quindi in questo caso:
det = [(t - 4) ( t)] - 5 = $t^2$ -4t - 5
pongo tutto diverso da zero e trovo che il determiannte è non nullo , cioè diverso da zero, per t $!=$ 5 e t $!=$ 1
e quindi per questi valori l'applicazione è un isomorfismo... vero??
ho detto giusto..??
grazie 1000 per l'aiuto
............e per il resto??
Bene.
Il punto 2 l'hai capito.
Ora per determinare il Ker devi fare la riduzione a gradini della tua matrice (facilissimo dato che è una 2x2)
Scrivi qui che matrice a gradini ottieni
otterrei se nn ho sbagliato la matrice seguente
$((1,5),(0,0))$
e ora..??
$((1,5),(0,0))$
e ora..??
"qwert90":
otterrei se nn ho sbagliato la matrice seguente
$((1,5),(0,0))$
e ora..??
Nel testo hai scritto che t vale -5 e non 5.
In tal caso la matrice non è corretta...
per misanino:
la matrice è questa ...ho sbagliato a scrivere nel testo
la traccia è calclcare KER e IM per t= 5 .. enon -5 è stato un mio errore..
quindi la matrice sarebbe
$((1,5),(0,0))$
per t=5
la matrice è questa ...ho sbagliato a scrivere nel testo
la traccia è calclcare KER e IM per t= 5 .. enon -5 è stato un mio errore..
quindi la matrice sarebbe
$((1,5),(0,0))$
per t=5
per misanino:
la matrice è questa ...ho sbagliato a scrivere nel testo
la traccia è calclcare KER e IM per t= 5 .. enon -5 è stato un mio errore..
quindi la matrice sarebbe
$((1,5),(0,0))$
per t=5
E POI ? GRZIE MILLE
la matrice è questa ...ho sbagliato a scrivere nel testo
la traccia è calclcare KER e IM per t= 5 .. enon -5 è stato un mio errore..
quindi la matrice sarebbe
$((1,5),(0,0))$
per t=5
E POI ? GRZIE MILLE
"qwert90":
dovrebbe essere questa ?
$((-9,5),(0,-40/9))$
In realtà c'è ancora un errore.
Infatti tu hai scritto che la matrice associata al tuo endomorfismo era $((t-4,5),(1,t))$
Invece essa è $((t-4,1),(5,t))$ ovvero devi scambiare le righe con le colonne.
Infatti tutto ciò che in partenza è riferito a $e_1$ deve stare nella prima colonna, e ciò che è riferito a $e_2$ deve stare nella 2° colonna
Ovviamente questo non cambia il risultato che ti è venuto al punto 2 perchè il determinante è lo stesso
allora la matrice sarà per t=5 sarà
$((1,1),(5,5))$
che ridotta a scalini sarà
$((1,1),(0,0))$
VERO??? E ORA PER IL KER E L'IM COME DEVO FARE???
GRAZIE 1000
$((1,1),(5,5))$
che ridotta a scalini sarà
$((1,1),(0,0))$
VERO??? E ORA PER IL KER E L'IM COME DEVO FARE???
GRAZIE 1000
"qwert90":
allora la matrice sarà per t=5 sarà
$((1,1),(5,5))$
che ridotta a scalini sarà
$((1,1),(0,0))$
VERO??? E ORA PER IL KER E L'IM COME DEVO FARE???
GRAZIE 1000
Per trovare il $Ker(f)$ ora devi prendere un genrico vettore di $RR^2$, che indico con $v=((x),(y))$ e risolvelvere $Av=0$ dove A è la tua matrice a scalini.
Cioè se ad esempio A fosse $A=((2,3),(0,0))$ allora $Av=0$ diventa $((2,3),(0,0))*((x),(y))=((0),(0))$ cioè
$2x+3y=0$
$0=0$
Quindi considero solo la prima equazione e ho $2x+3y=0$ da cui $y=-2/3x$
Perciò $y$ è fissato da $x$, mentre $x$ può essere qualsiasi numero reale.
Allora scrivo $x=\alpha$ con $\alpha\in RR$ e ho $y=-2/3x=-2/3\alpha$
Quindi il Ker è lo spazio dei vettori $(\alpha,-2/3\alpha)$ con $\alpha\in RR$. (Questo spazio ha dimensione 1).
Prova ora tu con la tua matrice, poi passiamo al rango
allora von la mia matrice mi trovo , facendo come hai detto tu, che il ker sarà lo spazio dei vettori
(a , -a) . FATTO BENE?
ed ora per l'IM ? COME FACCIO?
GRAZIE ANCORA PER L'AIUTO
(a , -a) . FATTO BENE?
ed ora per l'IM ? COME FACCIO?
GRAZIE ANCORA PER L'AIUTO
"qwert90":
allora von la mia matrice mi trovo , facendo come hai detto tu, che il ker sarà lo spazio dei vettori
(a , -a) . FATTO BENE?
ed ora per l'IM ? COME FACCIO?
GRAZIE ANCORA PER L'AIUTO
Bene: è giusto!
Ora passiamo all'immagine.
La cosa è leggermente più complicata (ma non di molto).
Prima infatti il ker(A) (dove A è la matrice di partenza associata al tuo endomorfismo) era uguale al Ker della matrice a scalini.
Qui invece bisogna fare un passaggio in più.
Consideriamo la matrice a scalini.
Ad esempio se abbiamo $((1,2,0,9),(0,4,5,3),(0,1,0,3),(0,0,0,4))$ chiamiamo pivot i primi elementi non nulli di una riga tali che l'elemento a loro sottostante è nullo.
Nell'esempio che ti ho fatto i pivot sono:
1 nella prima riga
1 nella terza riga
4 nella quarta riga
mentre nella seconda riga non c'è pivot perchè dovrebbe essere 4, ma l'elemento sotto di lui è 1 che è diverso da 0.
Allora una base dell'immagine di questa matrice a scalini è data dai vettori colonna in cui ci sono i pivot.
Quindi in questo caso una base dell'immagine della matrice a scalini è data dalla 1° colonna, 2° colonna, 4°colonna.
Una volta che abbiamo la base della matrice a scalini possiamo trovare una base della matrice di partenza A prendendo come base le corrispondenti colonne di A (la 1°, la 2° e la 4°)
Lo spazio dell'immagine sarà quindi lo spazio generato da questa base (in genere si dice lo Span di questa base)
Prova tu nel tuo caso (come vedi c'è un solo pivot)
ALLORA non ho ben capito...
la mia matrice a scalini é
$((1,1),(0,0))$
HO un solo pivot (quello della prima riga) e quindi il pivot si trova nella prima colonna e come tu hai detto una base dell'immagine della matrice a scalini é:
B = [(1,0)].. vero??
e poi? puoi dirmi come proseguire magari basandoti sul mio esempio ? così penso che capirò presto.
GRAZIE PER L'ATTENZIONE.
la mia matrice a scalini é
$((1,1),(0,0))$
HO un solo pivot (quello della prima riga) e quindi il pivot si trova nella prima colonna e come tu hai detto una base dell'immagine della matrice a scalini é:
B = [(1,0)].. vero??
e poi? puoi dirmi come proseguire magari basandoti sul mio esempio ? così penso che capirò presto.
GRAZIE PER L'ATTENZIONE.
"qwert90":
ALLORA non ho ben capito...
la mia matrice a scalini é
$((1,1),(0,0))$
HO un solo pivot (quello della prima riga) e quindi il pivot si trova nella prima colonna e come tu hai detto una base dell'immagine della matrice a scalini é:
B = [(1,0)].. vero??
e poi? puoi dirmi come proseguire magari basandoti sul mio esempio ? così penso che capirò presto.
GRAZIE PER L'ATTENZIONE.
Bene fin qui.
Perciò una base della tua matrice a scalini è data dalla prima colonna di questa matrice a scalini.
Allora una base della matrice di partenza A è data dalla prima colonna di A
cioè una base della matrice di partenza A è:
$B_A$ = [(1,5)].
ok??
e ora come proseguo ?
$B_A$ = [(1,5)].
ok??
e ora come proseguo ?
Non si dice che è una base della matrice di partenza, ma si dice che è una base dell'immagine del tuo endomorfismo di partenza.
Quindi la base è $(1,5)$ e perciò lo spazio immagine è dato dall'insieme dei vettori $\alpha*(1,5)=(\alpha,5\alpha)$
In genere però se scrivi una base non c'è bisogno che specifichi lo spazio dei vettori generato da quella base perchè è ovvio.
Ti basta dire quindi
$Im(\Phi)= <(1,5)>$
Dove il simbolo $< >$ significa che è lo spazio generato dai vettori (in questo caso solo 1 vettore) scritti tra di essi
E così facendo hai concluso il punto 3.
Sei d'accordo?
Quindi la base è $(1,5)$ e perciò lo spazio immagine è dato dall'insieme dei vettori $\alpha*(1,5)=(\alpha,5\alpha)$
In genere però se scrivi una base non c'è bisogno che specifichi lo spazio dei vettori generato da quella base perchè è ovvio.
Ti basta dire quindi
$Im(\Phi)= <(1,5)>$
Dove il simbolo $< >$ significa che è lo spazio generato dai vettori (in questo caso solo 1 vettore) scritti tra di essi
E così facendo hai concluso il punto 3.
Sei d'accordo?
ok...se dici così okok... sei piu esperto di me sicuramente ..
GRAZIE!
scusa per il disturbo ancora ma...per il punto 4 come devo fare??
io devo calcolare l'antimmagine di quell'elemento ...cioè di (1,2) ... sempre considerando t =5...non so se ti è chiaro dalla traccia, perchè ancora nn sn pratico cn questo tipo di scritture..
come faccio??
poi ci sarebbe il punto 5...
cmq grazie per la pazienza
..GRAZIE!
scusa per il disturbo ancora ma...per il punto 4 come devo fare??
io devo calcolare l'antimmagine di quell'elemento ...cioè di (1,2) ... sempre considerando t =5...non so se ti è chiaro dalla traccia, perchè ancora nn sn pratico cn questo tipo di scritture..
come faccio??
poi ci sarebbe il punto 5...
cmq grazie per la pazienza
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