Applicazioni lineari ed endomorfismi, diagonalizzazione
sia $\varphi$ : $R^2$ -----> $R^2$ un'applicazione lineare così definita:
$\varphi$ ($e_1$) = (t - 4)$e_1$ + $e_2$ , $\varphi$ ($e_2$) = 5$e_1$ + t$e_2$
1. scrivere la matrice associata a $\varphi$
2. determianare i valori di tper cui $\varphi$ è un isomorfismo
3. determinare nel caso in cui t= -5 Ker e Im di $\varphi$
4. determinare dato t= -5 $\varphi$^-1$([1, 2])
5. studiare la diagonalizzabilità di $\varphi$ e se possibile diagonalizzarla nel caso in cui t= -1 .
il primo punto lo so fare il resto ho difficoltà, tra un po ho l'esame.
AIUTATEMIII VI PREGOOOO
$\varphi$ ($e_1$) = (t - 4)$e_1$ + $e_2$ , $\varphi$ ($e_2$) = 5$e_1$ + t$e_2$
1. scrivere la matrice associata a $\varphi$
2. determianare i valori di tper cui $\varphi$ è un isomorfismo
3. determinare nel caso in cui t= -5 Ker e Im di $\varphi$
4. determinare dato t= -5 $\varphi$^-1$([1, 2])
5. studiare la diagonalizzabilità di $\varphi$ e se possibile diagonalizzarla nel caso in cui t= -1 .
il primo punto lo so fare il resto ho difficoltà, tra un po ho l'esame.
AIUTATEMIII VI PREGOOOO
Risposte
OK a domani... ah ma domani a che ora posso risponderti ? le 10' o piu tardi??
dimmi tu.
grazie mille
dimmi tu.
grazie mille
Allora prova a postare quello che hai capito e provato a fare
allora la matrice di partenza con il t generico é:
$((t-4,1),(5,t))$
cn il polinomio carattersitico mi trovo per il calclo degli autovalori:
(t - 4 -$\lambda$ ) (t - $\lambda$ ) - 5
cioè
(t- $\lambda$ )^2 -4 (t - $\lambda$ ) -5
gli autovalori sn le radici del poinomio vero?
e mi troverei se nn ho fatto errrori due "soluzioni":
t - $\lambda$ = 5
t - $\lambda$ = -1
fatto errori??
$((t-4,1),(5,t))$
cn il polinomio carattersitico mi trovo per il calclo degli autovalori:
(t - 4 -$\lambda$ ) (t - $\lambda$ ) - 5
cioè
(t- $\lambda$ )^2 -4 (t - $\lambda$ ) -5
gli autovalori sn le radici del poinomio vero?
e mi troverei se nn ho fatto errrori due "soluzioni":
t - $\lambda$ = 5
t - $\lambda$ = -1
fatto errori??
e per t = 5 (come indicato in traccia) sarebbe
$\lambda$ = 0
$\lambda$ = 6
i due valori
o sbaglio?
$\lambda$ = 0
$\lambda$ = 6
i due valori
o sbaglio?
"qwert90":
allora la matrice di partenza con il t generico é:
$((t-4,1),(5,t))$
cn il polinomio carattersitico mi trovo per il calclo degli autovalori:
(t - 4 -$\lambda$ ) (t - $\lambda$ ) - 5
cioè
(t- $\lambda$ )^2 -4 (t - $\lambda$ ) -5
gli autovalori sn le radici del poinomio vero?
e mi troverei se nn ho fatto errrori due "soluzioni":
t - $\lambda$ = 5
t - $\lambda$ = -1
fatto errori??
Ricordati che in generale il polinomio caratteristico va risolto rispetto a $\lambda$ e non rispetto al parametro $t$, ma in questo caso è conveninte fare come hai fatto tu.
Ti trovi quindi che i 2 autovalori sono:
$\lambda=t-5$ e $\lambda=t+1$.
Ora a seconda del valore di $t$ puoi dire se essi sono coincidenti o no e quindi (in base a ciò che ti ho detto nel post precedente) puoi già concludere che in molti casi la matrice è diagonalizzabile.
Quando?
beh..in questo caso le molteplictà algebriche dei due autovalori coincidono vero?
"qwert90":
beh..in questo caso le molteplictà algebriche dei due autovalori coincidono vero?
Prima di tutto l'esercizio non dice di prendere $t=5$, ma t generico nel dire se è diagonalizzabile.
Poi ti chiede di diagonalizzarla nel caso specifico $t=-1$.
Stiamo analizzando la prima parte.
devi dire per quali t è diagonalizzabile.
hai trovato gli autovalori.
Puoi già concludere qualcosa tenendo conto del post in cui ti spiegavo quando una matrice era diagonalizzabile e cosa succedeva nel caso di una 2x2.
Vai a rileggerlo con attenzione e poi scrivi qui cosa concludi dunque
ah si certo in questo caso poiche gli autovalori sono distinti la matrice è automaticamente diagonalizzabile...solo nel caso in cui essa è del tipo 2x2
"qwert90":
ah si certo in questo caso poiche gli autovalori sono distinti la matrice è automaticamente diagonalizzabile...solo nel caso in cui essa è del tipo 2x2
In quale caso gli autovalori sono distinti? (ricordati che dipendono da t)
quando t-5 $!=$ t+1
e quindi in qst caso sarebbero sempre distinti... o dico una cavolata??
perchè verrebbe 5 $!=$ 1 ...
spero di nn sbagliarmi..
e quindi in qst caso sarebbero sempre distinti... o dico una cavolata??
perchè verrebbe 5 $!=$ 1 ...
spero di nn sbagliarmi..
eh scusami -5 $!=$ 1...
"qwert90":
quando t-5 $!=$ t+1
e quindi in qst caso sarebbero sempre distinti... o dico una cavolata??
perchè verrebbe 5 $!=$ 1 ...
spero di nn sbagliarmi..
Non diciamo scemenze.
hai un'equazione nell'incognita t e devi risolverla.
Non puoi eliminare l'incognita!!!
Scusami, ma se devi risolvere $x+2=1-x$ cosa fai, elimini la x??!!
scusami ...perchè ho letto in un post che hai scritto precedentemente che i due autovalori erano
t-5 e t+1 ...
e allora andando a fare l'equazione eliminavo necessariamente la t
mi sn sbagliato allora nel calcoalre i due autovalori??
t-5 e t+1 ...
e allora andando a fare l'equazione eliminavo necessariamente la t
mi sn sbagliato allora nel calcoalre i due autovalori??
"qwert90":
scusami ...perchè ho letto in un post che hai scritto precedentemente che i due autovalori erano
t-5 e t+1 ...
e allora andando a fare l'equazione eliminavo necessariamente la t
mi sn sbagliato allora nel calcoalre i due autovalori??
Hai trovato i 2 autovalori t-5 e t+1 e ora determina per quale valore di t sono uguali e quindi puoi già concludere che se... allora è diagonalizzabile.
Nel caso che manca invece....
Finiamo dopo.
Ora vado a lezione
ciao senti...facendo l'equazione t-5 = t+1 ...non riesco a trovare alcun valore di t tale che i due autovalori siano uguali e quindi i due autovalori saranno sempre distinti come ho detto in un post precedente.. quindi?
"qwert90":
ciao senti...facendo l'equazione t-5 = t+1 ...non riesco a trovare alcun valore di t tale che i due autovalori siano uguali e quindi i due autovalori saranno sempre distinti come ho detto in un post precedente.. quindi?
Esatto. La risposta è quella che mi hai dato prima, ma ora hai capito perchè
Altrimenti se avessi trovato in un altro esercizio t-1 e 4-t non avresti saputo farlo!!
Quindi i 2 autovalori sono sempre distinti e quindi, dato che siamo nel caso 2x2 la tua matice di partenza è diagonalizzabile per ogni valore di t.
D'accordo?
Se sei d'accordo possiamo fare l'ultimissiam cosa cioè diagonalizzare nel caso t=-1
quindi ad esempio se avessi avuto come dici tu
t-1 e 4-t
i due autovalori sarebbero stati uguali per t= 2/3 e quindi la mtrice non sarebbe stata diagonalizzabile per t=2/3
vero???
cmq per quanto riguarda la diagonalizazzione della matrice ... puoi darmi qlk suggeimento?? perchè dai miei appunti capisco nn molto perchè sn un po confusionari.
grazie 1000
t-1 e 4-t
i due autovalori sarebbero stati uguali per t= 2/3 e quindi la mtrice non sarebbe stata diagonalizzabile per t=2/3
vero???
cmq per quanto riguarda la diagonalizazzione della matrice ... puoi darmi qlk suggeimento??
perchè dai miei appunti capisco nn molto perchè sn un po confusionari.grazie 1000
"qwert90":
quindi ad esempio se avessi avuto come dici tu
t-1 e 4-t
i due autovalori sarebbero stati uguali per t= 2/3 e quindi la mtrice non sarebbe stata diagonalizzabile per t=2/3
vero???
cmq per quanto riguarda la diagonalizazzione della matrice ... puoi darmi qlk suggeimento??
grazie 1000
Pssiamo dire nell'esempio che hai fatto tu che la matrice era diagonalizzabile per $t!=2/3$
Invece per $t=2/3$ immediatamente non possiamo dire nulla.
Dobbiamo, come ti ho scritto in un post precednte, andare a controllare che la molteplicità algebrica dell'autovalore che si ottiene ponendo $t=2/3$ sia uguale alla molteplicità geometrica.
Per diagonalizzare una matrice si deve determinare una base di autovettori, e quindi nel tuo caso, dato che hai 2 autovalori distinti, devi andare a determinare un autovettore per ogni autovalore.
metti tali autovettori in colonna e chiami la matrice 2x2 che ottieni B.
Allora la matrice A di partenza (con t=-1) diagonalizzata la ottieni facendo $B^(-1)*A*B$
okk credo di aver capito.... scusami se tra poco posto un altro problema in un nuovo topic...non è che potresti darmi una mano a capire anke lì?? grz davvero
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