Applicazioni lineari ed endomorfismi, diagonalizzazione
sia $\varphi$ : $R^2$ -----> $R^2$ un'applicazione lineare così definita:
$\varphi$ ($e_1$) = (t - 4)$e_1$ + $e_2$ , $\varphi$ ($e_2$) = 5$e_1$ + t$e_2$
1. scrivere la matrice associata a $\varphi$
2. determianare i valori di tper cui $\varphi$ è un isomorfismo
3. determinare nel caso in cui t= -5 Ker e Im di $\varphi$
4. determinare dato t= -5 $\varphi$^-1$([1, 2])
5. studiare la diagonalizzabilità di $\varphi$ e se possibile diagonalizzarla nel caso in cui t= -1 .
il primo punto lo so fare il resto ho difficoltà, tra un po ho l'esame.
AIUTATEMIII VI PREGOOOO
$\varphi$ ($e_1$) = (t - 4)$e_1$ + $e_2$ , $\varphi$ ($e_2$) = 5$e_1$ + t$e_2$
1. scrivere la matrice associata a $\varphi$
2. determianare i valori di tper cui $\varphi$ è un isomorfismo
3. determinare nel caso in cui t= -5 Ker e Im di $\varphi$
4. determinare dato t= -5 $\varphi$^-1$([1, 2])
5. studiare la diagonalizzabilità di $\varphi$ e se possibile diagonalizzarla nel caso in cui t= -1 .
il primo punto lo so fare il resto ho difficoltà, tra un po ho l'esame.
AIUTATEMIII VI PREGOOOO
Risposte
Hai la base standard $e_1,e_2$ di $RR^2$.
Ti ricordo che $e_1=(1,0)$ ed $e_2=(0,1)$
Ogni elemento di $RR^2$ si scrive quindi come $v=ae_1+be_2$ per certi $a,b\in RR^2$
Ora $\Phi$ è un endomorfismo e quindi è lineare.
Poni quindi $\Phi(ae_1+be_2)=(1,2)$ e trovi i valori di a e b e quindi trovi tute le controimmagini di (1,2).
Ora devo andare via.
Tu prova a sforzarti di capire ciò che ti ho scritto e a farlo.
Poi stasera se hai avuto problemi ne parliamo.
Se no sempre stasera ti dico come fare il punto 5.
Ciao
Ti ricordo che $e_1=(1,0)$ ed $e_2=(0,1)$
Ogni elemento di $RR^2$ si scrive quindi come $v=ae_1+be_2$ per certi $a,b\in RR^2$
Ora $\Phi$ è un endomorfismo e quindi è lineare.
Poni quindi $\Phi(ae_1+be_2)=(1,2)$ e trovi i valori di a e b e quindi trovi tute le controimmagini di (1,2).
Ora devo andare via.
Tu prova a sforzarti di capire ciò che ti ho scritto e a farlo.
Poi stasera se hai avuto problemi ne parliamo.
Se no sempre stasera ti dico come fare il punto 5.
Ciao
ok ora provo e ti faccio aspere stasera... ma verso che orario??
grazie
grazie
Se hai provato ci sono per una mezz'ora.
Poi devo andare a mangiare
Poi devo andare a mangiare
per misanino:
ho provato ...ma praticamente ma...nn ho capito bene... non è che potresti per piacere dirmelo tu??
io l'ho fatto e praticamente mi viene di nuovo il vettore (1,2). E' possibile...nn sono molto convinto..per questo se potessi spiegarmelo tu mi faresti un piacere...
grazie mille x la pazienza..
ho provato ...ma praticamente ma...nn ho capito bene... non è che potresti per piacere dirmelo tu??
io l'ho fatto e praticamente mi viene di nuovo il vettore (1,2). E' possibile...nn sono molto convinto..per questo se potessi spiegarmelo tu mi faresti un piacere...
grazie mille x la pazienza..
"qwert90":
per misanino:
ho provato ...ma praticamente ma...nn ho capito bene... non è che potresti per piacere dirmelo tu??
io l'ho fatto e praticamente mi viene di nuovo il vettore (1,2). E' possibile...nn sono molto convinto..per questo se potessi spiegarmelo tu mi faresti un piacere...
grazie mille x la pazienza..
Addirittura fartelo io direi di no.
Ti guido passo passo.
Abbiamo detto che ogni vettore di $v\inRR^2$ si scrive come $v=ae_1+be_2$ con $a,b\inRR$ ( e su questo penso che tu sia d'accordo).
Ora dobbiamo sfruttare la linearità di $\Phi$ per calcolare $\Phi(ae_1+be_2)$.
Perciò ti chiedo: cosa vuol dire che $\Phi$ è lineare?
nno nn chiedevo di farmelo..assolutamente...
l'applicazione è lineare se valgono le condizioni:
1. per ogni $v_1$ e $v_2$ sia ha f( $v_1$ + $v_2$ ) = f ( $v_1$ ) + f ( $v_2$ )
2. per ogni v appartente a $V_1$ e per ogni "lambda" appartenente a K f (lambda * v) = lambda * f( v)
$V_1$ è il dominio dell'applicazione lineare lambda è una costante.
chiedo scusa se nn ho scritto tt cn linguaggio matematico ma nn sn pratico...
spero si capisca.
mi sbaglio su qll che ho scritto?
l'applicazione è lineare se valgono le condizioni:
1. per ogni $v_1$ e $v_2$ sia ha f( $v_1$ + $v_2$ ) = f ( $v_1$ ) + f ( $v_2$ )
2. per ogni v appartente a $V_1$ e per ogni "lambda" appartenente a K f (lambda * v) = lambda * f( v)
$V_1$ è il dominio dell'applicazione lineare lambda è una costante.
chiedo scusa se nn ho scritto tt cn linguaggio matematico ma nn sn pratico...
spero si capisca.
mi sbaglio su qll che ho scritto?
"qwert90":
l'applicazione è lineare se valgono le condizioni:
1. per ogni $v_1$ e $v_2$ sia ha f( $v_1$ + $v_2$ ) = f ( $v_1$ ) + f ( $v_2$ )
2. per ogni v appartente a $V_1$ e per ogni "lambda" appartenente a K f (lambda * v) = lambda * f( v)
$V_1$ è il dominio dell'applicazione lineare lambda è una costante.
chiedo scusa se nn ho scritto tt cn linguaggio matematico ma nn sn pratico...
spero si capisca.
mi sbaglio su qll che ho scritto?
Molto bene.
bravo!
Ora metti insieme i 2 punti che hai descritto.
Cosa diventa allora $\Phi(ae_1+be_2)$ tenendo conto che $e_1,e_2$ svolgono il ruolo di quelli che tu hai chiamato $v_1$ e $v_2$; mentre $a,b$ li devi trattare come quello che hai chiamato $\lambda$?
$\varphi$ ( $e_1$ + $e_2$ ) = (t-4) $e_1$ + $e_2$ +5 $e_1$ + t $e_2$ = (t-4 +5) $e_1$ + (t+1) $e_2$
se t = 5 (come indicato nella traccia) allora si ha che il tt è uguale a. 6 $e_1$ + 6 $e_2$
vero?
se t = 5 (come indicato nella traccia) allora si ha che il tt è uguale a. 6 $e_1$ + 6 $e_2$
vero?
"qwert90":
$\varphi$ ( $e_1$ + $e_2$ ) = (t-4) $e_1$ + $e_2$ +5 $e_1$ + t $e_2$ = (t-4 +5) $e_1$ + (t+1) $e_2$
se t = 5 (come indicato nella traccia) allora si ha che il tt è uguale a. 6 $e_1$ + 6 $e_2$
vero?
Quello che hai scritto è vero (anche se ti consiglio di sostituire subito t=5 e non alla fine) ma non è ciò che ti ho detto di fare.
Tu non devi calcolare $\Phi(e_1+e-2)$ bensì $\Phi(ae_1+be_2)$ (cambia pochissimo ovviamente) lasciando ovviamente indicate le costanti a e b.
Riprova
in tal caso otterrei che tt è uguale a
6a $e_1$ + 6b $e_2$
esatto?
6a $e_1$ + 6b $e_2$
esatto?
"qwert90":
in tal caso otterrei che tt è uguale a
6a $e_1$ + 6b $e_2$
esatto?
no.
Rifai bene il calcolo e riportalo
ho provato a rifarlo.
è 6ab $e_1$ + 6ab $e_2$ ?
è 6ab $e_1$ + 6ab $e_2$ ?
ho sbagliato anche stavolta...aspetta lo sto rifacendo
Non puoi dire che $ae_1+5be_1=6abe_1$ !!
Puoi solo raccogliere $e_1$ e avere che esce $(a+5b)e_1$!
Prova a rifarlo un'ultima volta.
Se sbagli ancora te lo mostro io (ma sono sicuro che puoi farcela tu)
Puoi solo raccogliere $e_1$ e avere che esce $(a+5b)e_1$!
Prova a rifarlo un'ultima volta.
Se sbagli ancora te lo mostro io (ma sono sicuro che puoi farcela tu)
allora è uguale a
$\varphi$ ($e_1$ + $e_2$ ) = (t-4)a $e_1$ + a $e_2$ + 5b $e_1$ + bt $e_2$
il tutto viene considerando t = 5
(a+5b) $e_1$ + (5b+a) $e_2$
dimmi che è così ...
$\varphi$ ($e_1$ + $e_2$ ) = (t-4)a $e_1$ + a $e_2$ + 5b $e_1$ + bt $e_2$
il tutto viene considerando t = 5
(a+5b) $e_1$ + (5b+a) $e_2$
dimmi che è così ...
"qwert90":
allora è uguale a
$\varphi$ ($e_1$ + $e_2$ ) = (t-4)a $e_1$ + a $e_2$ + 5b $e_1$ + bt $e_2$
il tutto viene considerando t = 5
(a+5b) $e_1$ + (5b+a) $e_2$
dimmi che è così ...
Molto bene!!
Abbiamo calcolato quindi l'immagine di un generico vettore di $RR^2$.
Dobbiamo determinare quei vettori che hanno immagine (1,2)
Ora $(1,2)=1e_1+2e_2$
Perciò dobbiamo imporre (a+5b) $e_1$ + (5b+a) $e_2$ =$1e_1+2e_2$
e ricaviamo il sistema:
$a+5b=1$
$5b+a=2$
Risolvi il sistema; trova a e b;
e ora hai che i vettori di $RR^2$ con immagine (1,2) sono i vettori $ae_1+be_2$ che si indicano con $(a,b)$
Hai così trovato la controimmagine di (1,2).
Prova a fare i calcoli e a scrivere cosa ti viene
scusami l'ignoranza...sn io che sbaglio sicuramente..ma se svolgo il sistema cn le equanzioni d sopra..non mi viene un sistema impossibile??
mi sbaglio sicuramente... puoi spiegarmi?
grazie per la pazienza
mi sbaglio sicuramente... puoi spiegarmi?
grazie per la pazienza
Non sbagli affatto.
La risposta è che la controimmagine di (1,2) è l'insieme vuoto.
Infatti se ti ricordi, al punto 2, hai calcolato che avevi un isomorfismo (e quindi ogni elemento ha controimmagine e ne ha una sola) se $t!=5$ e $t!=-1$.
Quindi se $t=5$ non hai un isomorfismo!
Quindi può tranquillamente accadere che un punto abbia più di una controimmagine o che un punto non abbia controimmagini ( e questo è il caso).
Hai capito?
La risposta è che la controimmagine di (1,2) è l'insieme vuoto.
Infatti se ti ricordi, al punto 2, hai calcolato che avevi un isomorfismo (e quindi ogni elemento ha controimmagine e ne ha una sola) se $t!=5$ e $t!=-1$.
Quindi se $t=5$ non hai un isomorfismo!
Quindi può tranquillamente accadere che un punto abbia più di una controimmagine o che un punto non abbia controimmagini ( e questo è il caso).
Hai capito?
ho capito ho capito... grazie mille ! grazie davveroo
ho capito....
per quanto riguarda l'ultimo punto è possibile vederlo ora oppure domani ?
famm sapere...
e grazie per le speigazioni!!!!!
ho capito....
per quanto riguarda l'ultimo punto è possibile vederlo ora oppure domani ?
famm sapere...
e grazie per le speigazioni!!!!!
"qwert90":
ho capito ho capito... grazie mille ! grazie davveroo
ho capito....
per quanto riguarda l'ultimo punto è possibile vederlo ora oppure domani ?
famm sapere...
e grazie per le speigazioni!!!!!
Per l'ultimo punto ti anticipo ora quello che devi fare.
Poi ne parliamo meglio domani.
Tu prova a fere ciò che ti dico.
Per capire quando una matrice è diagonalizzabile devi sapere cosa sono la molteplicità algebrica e la molteplicità geometrica degli autovalori.
Allora si ha il seguente teorema:
Una matrice quadrata nxn è diagonalizzabile se:
1. la somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è n
2. la molteplicità geometrica di ogni autovalore coincide con la sua molteplicità algebrica
Nel caso di una matrice 2x2 si ha che se ci sono 2 autovalori distinti, allora valgono automaticamente le condizioni del teorema.
Quindi una matrice 2x2 con 2 autovalori distinti è automaticamente diagonalizzabile.
Comincia quindi a calcolare gli autovalori della tua matrice (quella con t generico)
Sai che si fa col polinomio caratteristico cioè col determinante di $A-\lambda I$, vero!?
Poi lo vediamo domani.
Buonanotte
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