Applicazioni lineari
ciao a tutti!!!
ho questo esercizio
determinare la matrice associata all'applicazione lineare $f:RR^3->RR^2$ definita da:
$f(x,y,z)=(x+y+z, 2x-y)$ rispetto la base ordinata $e={(1,2,0), (0,1,0), (0,2,-1)}$ di $RR^3$ e la base ordinata $c={(1,2),(3,5)}$ di $RR^2$
io procedo così trovo l'immagine rispetto alla base e:
$f(1,2,0)=(3,0)$
$f(0,1,0)=(1,-1)$
$f(0,2,-1)=(1,-2)$
fatto questo io risolvo tre sistemi cioè:
$\{(a_11+3a_21=3), (2a_11+5a_21=0):}$ $\{(a_12+3a_22=1), (2a_12+5a_22=-1):}$ $\{(a_13+3a_23=1), (2a_13+5a_23=-2):}$
risolvendo i sistemi finalmente arrivo alla matrice
$A=((-15, -8, -11),(6,3,4))$
tutto giusto mi trovo anche con il risultato... ora però mi chiedo non c'è un metodo un po' più veloce? devo per forza risolvere i sistemi?
grazie mille
ho questo esercizio
determinare la matrice associata all'applicazione lineare $f:RR^3->RR^2$ definita da:
$f(x,y,z)=(x+y+z, 2x-y)$ rispetto la base ordinata $e={(1,2,0), (0,1,0), (0,2,-1)}$ di $RR^3$ e la base ordinata $c={(1,2),(3,5)}$ di $RR^2$
io procedo così trovo l'immagine rispetto alla base e:
$f(1,2,0)=(3,0)$
$f(0,1,0)=(1,-1)$
$f(0,2,-1)=(1,-2)$
fatto questo io risolvo tre sistemi cioè:
$\{(a_11+3a_21=3), (2a_11+5a_21=0):}$ $\{(a_12+3a_22=1), (2a_12+5a_22=-1):}$ $\{(a_13+3a_23=1), (2a_13+5a_23=-2):}$
risolvendo i sistemi finalmente arrivo alla matrice
$A=((-15, -8, -11),(6,3,4))$
tutto giusto mi trovo anche con il risultato... ora però mi chiedo non c'è un metodo un po' più veloce? devo per forza risolvere i sistemi?
grazie mille
Risposte
se non vuoi risolvere i sistemi, e preferisci fare un po' di calcoli con le matrici, puoi trovare la matrice dell'applicazione associata alla base canonica, poi moltiplicare a destra e sinistra per le matrici di cambiamento di base. Ho fatto per sicurezza una prova (serviva anche a me come esercizio) ed il risultato, come ci si doveva aspettare, è lo stesso!
ciao grazie per la risposta, comunque conoscevo già anche quest' altro metodo... devo dire anche questo piuttosto macchinoso, anche perché devi calcolarti la matrice inversa, e dato che negli esami il tempo non è mai abbastanza...
no, nessuna matrice inversa:
chiama $N$ la matrice del cambio di base dalla base canonica di $RR^2$ alla nostra base di $RR^2$
e $M$ la matrice del cambio dalla nostra base di $RR^3$ a quella canonica.
(occhio all'ordine, sono due matrici che "moralmente", fanno la cosa opposta, anche se su spazi diversi)
chiama poi $C$ la matrice associata all'applicazione rispetto alle basi canoniche degli spazi.
allora la matrice che cerchiamo sarà $NCM$. ed è tutto molto facile e veloce da trovare.
chiama $N$ la matrice del cambio di base dalla base canonica di $RR^2$ alla nostra base di $RR^2$
e $M$ la matrice del cambio dalla nostra base di $RR^3$ a quella canonica.
(occhio all'ordine, sono due matrici che "moralmente", fanno la cosa opposta, anche se su spazi diversi)
chiama poi $C$ la matrice associata all'applicazione rispetto alle basi canoniche degli spazi.
allora la matrice che cerchiamo sarà $NCM$. ed è tutto molto facile e veloce da trovare.
ah grazie...
Io invece sapevo che se ad esempio $A$ è la matrice associata a $f$ rispetto alle basi (canoniche) $B$ di $RR^3$ e $B'$ di $RR^2$ e $\bar A$ è la matrice associata sempre a $f$ rispetto alle basi $\bar B$ di $RR^3$ e $\bar B'$ di $RR^2$ risulta:
$bar A=D^-1AC$
dove $C$ è la matrice del cambiamento di base da $B$ a $\bar B$ e $D$ è la matrice del cambiamento di base da $B'$ a $\bar B'$
Io invece sapevo che se ad esempio $A$ è la matrice associata a $f$ rispetto alle basi (canoniche) $B$ di $RR^3$ e $B'$ di $RR^2$ e $\bar A$ è la matrice associata sempre a $f$ rispetto alle basi $\bar B$ di $RR^3$ e $\bar B'$ di $RR^2$ risulta:
$bar A=D^-1AC$
dove $C$ è la matrice del cambiamento di base da $B$ a $\bar B$ e $D$ è la matrice del cambiamento di base da $B'$ a $\bar B'$
eh no è il contrario..
pensa che tu $bar{A}$ vuoi applicarla ad una n-unpla di coordinate rispetto alla base $bar{B}$
quindi avrai bisogno, nell'ordine da destra a sinistra
della matrice che cambia le coordinate da $bar{B}$ alla base canonica di $RR^3$ $B$
poi della matrice $A$ che ti esprime l'applicazione rispetto appunto a coordinate della base canonica
poi della matrice che cambi le coordinate da quelle rispetto a $B'$, base canonica di $RR^2$, a $bar{B'}$, che è la base in uscita che ci interessa.
devi vedere le matrici anche come applicazioni lineari, e il prodotto fra matrici come composizione.
pensa che tu $bar{A}$ vuoi applicarla ad una n-unpla di coordinate rispetto alla base $bar{B}$
quindi avrai bisogno, nell'ordine da destra a sinistra
della matrice che cambia le coordinate da $bar{B}$ alla base canonica di $RR^3$ $B$
poi della matrice $A$ che ti esprime l'applicazione rispetto appunto a coordinate della base canonica
poi della matrice che cambi le coordinate da quelle rispetto a $B'$, base canonica di $RR^2$, a $bar{B'}$, che è la base in uscita che ci interessa.
devi vedere le matrici anche come applicazioni lineari, e il prodotto fra matrici come composizione.
grazie mille per i chiarimenti...
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