Applicazioni Lineari
ciao a tutti
rieccomi qui con il mio solito problema sulle applicazioni....
come ben avete capito sono la mia croce e la mia delizia....
cominciamo...
Testo
sia$f:M2(R)$ $->$ $M2(R)$ l'applicazione lineare definita da $f(A)=A+A^t$ per ogni $A$ $in$ $M2(R)$
determinare $M2(R)$ la dimensione ed una base per $Ker(f)$ $Im(f)$.
determinare la matrice associata a f relativamente alla base$ C=|(1,1),(0,0)|$ $|(1,0),(1,0)|$ $|(1,0),(0,1)|$ $|(0,0),(0,1)|$
Soluzione
essendo $f(A)=A+A^t$ avrò la matrice $ A=$ $((a,b),(c,d))+((a,c),(b,d))$ = $((2a,b+c),(c+b,2d))$
se considero la base canonica $ B=$ $ E11,E12,E21,E22 $
$ A=$$|(2,0),(0,0)|$ $|(0,1),(1,0)|$ $|(0,1),(1,0)|$ $|(0,0),(0,2)|$
avrò la matrice associata $ A= ((2,0,0,0),(0,1,1,0),(0,1,1,0),(0,0,0,2))$
con l'eliminazione di Gauss avrò
$ A= ((2,0,0,0),(0,1,1,0),(0,1,1,0),(0,0,0,2))$ $->$$ A= ((2,0,0,0),(0,1,1,0),(0,0,0,2),(0,0,0,0))$
la $dim Im(f)=3$ con $B Im(f)=(2,0,0,0),(0,1,1,0),(0,1,1,0)$
la $dimKer(f)=1$
sapendo che si ottiene dal sistema omogeneo
$\{(2a= 0),(b+c= 0),(c+b=0),(2d =0):}$
la base $Bker(f)=(0,b),(b,0)$$=$$((0,1),(1,0))$
è giusto???????????????
rieccomi qui con il mio solito problema sulle applicazioni....
come ben avete capito sono la mia croce e la mia delizia....
cominciamo...
Testo
sia$f:M2(R)$ $->$ $M2(R)$ l'applicazione lineare definita da $f(A)=A+A^t$ per ogni $A$ $in$ $M2(R)$
determinare $M2(R)$ la dimensione ed una base per $Ker(f)$ $Im(f)$.
determinare la matrice associata a f relativamente alla base$ C=|(1,1),(0,0)|$ $|(1,0),(1,0)|$ $|(1,0),(0,1)|$ $|(0,0),(0,1)|$
Soluzione
essendo $f(A)=A+A^t$ avrò la matrice $ A=$ $((a,b),(c,d))+((a,c),(b,d))$ = $((2a,b+c),(c+b,2d))$
se considero la base canonica $ B=$ $ E11,E12,E21,E22 $
$ A=$$|(2,0),(0,0)|$ $|(0,1),(1,0)|$ $|(0,1),(1,0)|$ $|(0,0),(0,2)|$
avrò la matrice associata $ A= ((2,0,0,0),(0,1,1,0),(0,1,1,0),(0,0,0,2))$
con l'eliminazione di Gauss avrò
$ A= ((2,0,0,0),(0,1,1,0),(0,1,1,0),(0,0,0,2))$ $->$$ A= ((2,0,0,0),(0,1,1,0),(0,0,0,2),(0,0,0,0))$
la $dim Im(f)=3$ con $B Im(f)=(2,0,0,0),(0,1,1,0),(0,1,1,0)$
la $dimKer(f)=1$
sapendo che si ottiene dal sistema omogeneo
$\{(2a= 0),(b+c= 0),(c+b=0),(2d =0):}$
la base $Bker(f)=(0,b),(b,0)$$=$$((0,1),(1,0))$
è giusto???????????????
Risposte
ciao!
1. hai fatto un macello con i simboli del dollaro: basta che ne metti uno ad inizio formula ed uno alla fine, non c'è bisogno di metterne uno prima e dopo tutto ciò che scrivi. ho cercato di comprendere ma molti possono non farlo e quindi non aiutarti
2. in generale hai fatto bene solo un paio di cose:
1. hai fatto un macello con i simboli del dollaro: basta che ne metti uno ad inizio formula ed uno alla fine, non c'è bisogno di metterne uno prima e dopo tutto ciò che scrivi. ho cercato di comprendere ma molti possono non farlo e quindi non aiutarti
2. in generale hai fatto bene solo un paio di cose:
2.a) tutte le basi devono essere costituite da matrici perchè stiamo lavorando in spazi di matrici
2.b) nel nucleo hai sbagliato a risolvere il sistema. un generico elemento del kernel ha la seguente forma $ { ( c in RR ),( a=d=0 ),( b=-c ):} $ com'è quindi una base?
[/list:u:3na60n1i]
Ciao a tutti e a Cooper
Scusate il ritardo.... !!!è vero ho fatto un macello con i dollari
mi sento mortificato.
Il problema è stato che avevo scritto tutto l'esercizio in modo corretto con i dollari (come puoi vedere la prima parte era scritta in modo giusto , perchè salvata in bozze e anche perché cerco di controllarlo nell'anteprima ) poi all'improvviso mentre stavo inviando il messaggio mi ha dato dei problemi e questo è il risultato....mi dispiace
allora se non ho capito male...la prima parte è giusta....????
Cerco di risponderti in modo corretto...sperando di non scrivere cavolate.....
2.a) tutte le basi devono essere costituite da matrici perchè stiamo lavorando in spazi di matrici
Io avevo scritto così :
A=$|(2a,c+b),(b+c,d)|$
$E11=|(2,0),(0,0)|$ $E=12|(0,1),(1,0)|$ $E=|(0,1),(1,0)|$ $E=|(0,0),(0,2)|$ da cui si ottiene
$C=((2,0,0,0),(0,1,1,0),(0,1,1,0),(0,0,0,2))$ con l'eliminazione di Gauss
$C=((2,0,0,0),(0,1,1,0),(0,1,1,0),(0,0,0,2))$ $->$ $((2,0,0,0),(0,1,1,0),(0,0,0,2),(0,0,0,0))$
con $ dimIm(f)=3 $
e base $ B(Im(f))=(2,0,0,0),(0,1,1,0),(0,1,1,0) $
2.b) nel nucleo hai sbagliato a risolvere il sistema. un generico elemento del kernel ha la seguente forma $ { ( c in RR ),( a=d=0 ),( b=-c ):} $ com'è quindi una base?
$B(ker(f))=|(0,-c),(-c,0)|$ cioè $|(0,-1),(-1,0)|$
con $dimker(f)=3$
PS. mi è venuto un dubbio non vorrei scrivere una sciocchezza ma la base del nucleo può essere invece
$|(0,0),(0,0)|$
Scusate il ritardo.... !!!è vero ho fatto un macello con i dollari
mi sento mortificato.Il problema è stato che avevo scritto tutto l'esercizio in modo corretto con i dollari (come puoi vedere la prima parte era scritta in modo giusto , perchè salvata in bozze e anche perché cerco di controllarlo nell'anteprima ) poi all'improvviso mentre stavo inviando il messaggio mi ha dato dei problemi e questo è il risultato....mi dispiace
allora se non ho capito male...la prima parte è giusta....????
Cerco di risponderti in modo corretto...sperando di non scrivere cavolate.....
2.a) tutte le basi devono essere costituite da matrici perchè stiamo lavorando in spazi di matrici
Io avevo scritto così :
A=$|(2a,c+b),(b+c,d)|$
$E11=|(2,0),(0,0)|$ $E=12|(0,1),(1,0)|$ $E=|(0,1),(1,0)|$ $E=|(0,0),(0,2)|$ da cui si ottiene
$C=((2,0,0,0),(0,1,1,0),(0,1,1,0),(0,0,0,2))$ con l'eliminazione di Gauss
$C=((2,0,0,0),(0,1,1,0),(0,1,1,0),(0,0,0,2))$ $->$ $((2,0,0,0),(0,1,1,0),(0,0,0,2),(0,0,0,0))$
con $ dimIm(f)=3 $
e base $ B(Im(f))=(2,0,0,0),(0,1,1,0),(0,1,1,0) $
2.b) nel nucleo hai sbagliato a risolvere il sistema. un generico elemento del kernel ha la seguente forma $ { ( c in RR ),( a=d=0 ),( b=-c ):} $ com'è quindi una base?
$B(ker(f))=|(0,-c),(-c,0)|$ cioè $|(0,-1),(-1,0)|$
con $dimker(f)=3$
PS. mi è venuto un dubbio non vorrei scrivere una sciocchezza ma la base del nucleo può essere invece
$|(0,0),(0,0)|$
"Oscar19":
con $dimIm(f)=3$
e base $ B(Im(f))=(2,0,0,0),(0,1,1,0),(0,1,1,0)$
temo tu abbia frainteso: ho editato sul mio pc il tuo messaggio ed ho visto cosa avevi scritto in modo "corretto". il problema è proprio che la risposta che hai dato è sbagliata. non in termini di conto ma del modo in cui presenti il risultato. essendo l'a.l. definita su spazi di matrici anche l'immagine ed il nucleo sono sottospazi di matrici e quindi le loro basi non devono essere espresse come vettori ma come matrici. devi esprimere la base B che hai trovato (sottolineo ancora che è corretta) come un insieme di tre matrici e non vettori
(è solo un errore di forma che però ha una certa rilevanza se non capisci perchè vada fatto così. nel qual caso basta chiedere 
)"Oscar19":
$ B(ker(f))=|(0,-c),(-c,0)| $ cioè $ |(0,-1),(-1,0)| $
con $ dimker(f)=3 $
ok, la correzione della base del nucleo va bene. ma perchè mai la dimensione dovrebbe essere 3?
qual è la definizione di dimensione? oltretutto hai a disposizione anche un certo teorema sulle dimensioni di nucleo ed immagine, giusto per conferma dei calcoli (quale?)...... 
E son di nuovo.......
devi esprimere la base B che hai trovato (sottolineo ancora che è corretta) come un insieme di tre matrici e non vettori .....
"in che senso...?????"
(è solo un errore di forma che però ha una certa rilevanza se non capisci perchè vada fatto così. nel qual caso basta chiedere) come sarebbe allora........?????????????
ok, la correzione della base del nucleo va bene. ma perchè mai la dimensione dovrebbe essere 3?
Ops......
hai ragione la $ dimker(f)=1 $
qual è la definizione di dimensione?
" La dimensione dello spazio vettoriale V, $ dim V $ è pari al numero dei vettori di una base" citazione del libro....
in poche parole significa il numero dei vettori che sono linearmente indipendenti che costituiscono la base
oltretutto hai a disposizione anche un certo teorema sulle dimensioni di nucleo ed immagine, giusto per conferma dei calcoli (quale?)......
$ dimKer(f)= dimV - dimIm(f)=4-3=1 $
devi esprimere la base B che hai trovato (sottolineo ancora che è corretta) come un insieme di tre matrici e non vettori .....
"in che senso...?????"
(è solo un errore di forma che però ha una certa rilevanza se non capisci perchè vada fatto così. nel qual caso basta chiedere
) come sarebbe allora........?????????????ok, la correzione della base del nucleo va bene. ma perchè mai la dimensione dovrebbe essere 3?
Ops......
hai ragione la $ dimker(f)=1 $qual è la definizione di dimensione?
" La dimensione dello spazio vettoriale V, $ dim V $ è pari al numero dei vettori di una base" citazione del libro....
in poche parole significa il numero dei vettori che sono linearmente indipendenti che costituiscono la base
oltretutto hai a disposizione anche un certo teorema sulle dimensioni di nucleo ed immagine, giusto per conferma dei calcoli (quale?)......
$ dimKer(f)= dimV - dimIm(f)=4-3=1 $
"Oscar19":
devi esprimere la base B che hai trovato (sottolineo ancora che è corretta) come un insieme di tre matrici e non vettori .....
"in che senso...?????"
(è solo un errore di forma che però ha una certa rilevanza se non capisci perchè vada fatto così. nel qual caso basta chiedere ) come sarebbe allora........?????????????
semplicemente una base dell'immagine è $ B(Im(f))={((2,0),(0,0)),((0,1),(1,0)),((0,0),(0,2)) }$
mi sono accorto nello scriverla però che in realtà è proprio sbagliata. come vedi nella tua il secondo ed il terzo vettore sono uguali e questo non può essere (perchè?). una volta ridotta con Gauss devi prendere come elementi della base le colonne dove ci sono i pivot.
"Oscar19":
Ops...... [ecc ecc]
Ok Cooper.............
semplicemente una base dell'immagine è $ B(Im(f))={((2,0),(0,0)),((0,1),(1,0)),((0,0),(0,2)) } $
Ora ho capito cosa intendevi.... pensavo qualcosa di 
mi son spiegato....!!!!????
mi sono accorto nello scriverla però che in realtà è proprio sbagliata. come vedi nella tua il secondo ed il terzo vettore sono uguali e questo non può essere (perchè?). una volta ridotta con Gauss devi prendere come elementi della base le colonne dove ci sono i pivot.
Hai proprio ragione errore di ......
.come si è ben capito non sono al cento per cento 
....postumi influenzali 
Grazie sei sempre un grande.....
semplicemente una base dell'immagine è $ B(Im(f))={((2,0),(0,0)),((0,1),(1,0)),((0,0),(0,2)) } $
Ora ho capito cosa intendevi....
pensavo qualcosa di mi son spiegato....!!!!????mi sono accorto nello scriverla però che in realtà è proprio sbagliata. come vedi nella tua il secondo ed il terzo vettore sono uguali e questo non può essere (perchè?). una volta ridotta con Gauss devi prendere come elementi della base le colonne dove ci sono i pivot.
Hai proprio ragione errore di ......
.come si è ben capito non sono al cento per cento ....postumi influenzali Grazie sei sempre un grande.....
"Oscar19":
Ora ho capito cosa intendevi....
ottimo!
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