Applicazione lineare tra spazi quoziente

[thedarkhero]

Sia V spazio vettoriale su C, siano U e W sottospazi di V tali che $UsubeWsubeV$.
Sia $phi:V/U->V/W$ definita come $phi(v+U)=v+W$.
Come posso mostrare che $phi$ è suriettiva?
Ho provato con la formula delle dimensioni ma non sono riuscito ad arrivare a nessuna conclusione.

[dissonance]

Intanto devi mostrare che è ben definita. Così a occhio mi pare che questo sia il grosso del problema, la suriettività dovrebbe seguire facilmente. (P.S.: Ma forse è meglio pensarci domani. E' un po' tardi adesso. )

[thedarkhero]

Mostrare che è ben definita significa mostrare che presi $(v_1-v_2)\inU$ si ha $phi(v_1+U)=phi(v_2+U)$, giusto? Quindi $v_1+W=v_2+W$...non saprei come impostarlo.

[killing_buddha]

Se non ricordo male: devi controllare che [tex]\phi(v_1-v_2)= W[/tex]. Ma questo è banale, visto che [tex]v_1-v_2\in U\subseteq W[/tex]...

[thedarkhero]

Ok, la funzione è suriettiva.
Si può mostrare anche prendendo una base di U ${v_1,...,v_n}$, estendendola ad una base di W ${v_1,...,v_n,...,v_m}$ e quindi ad una base di V ${v_1,...,v_n,...,v_m,...,v_l}$.
Ogni vettore di V/W è generato da ${v_(m+1),...,v_m,...,v_l}$ quindi è generato anche da ${v_(n+1),...,v_m,...,v_l}$.
Ora devo mostrare, sfruttando il teorema fondamentale di isomorfismo, che $V/W$ è isomorfo a $(V/U)/(W/U)$.
Per il teorema fondamentale di isomorfismo, un'applicazione lineare $phi:V->W$ induce un isomorfismo tra $V/(kerphi)$ e $im phi$.
Con questo mostro che $V/W$ è isomorfo a $U/W$...ma non che $V/W$ è isomorfo a $(V/U)/(W/U)$.