Applicazione lineare parametrica
Ciao a tutti,
spero possiate darmi una mano perchè un esercizio apparentemente semplice mi sta facendo impazzire. Ciò sicuramente è dovuto anche alla mia ignoranza quindi siate clementi
Il testo è il seguente:
Data l'applicazione lineare $f$ : $\mathbb {R}^3$ $->$ $\mathbb {R}^2$ definita da $f (x,y,z) = (3x + (k+1)y -3kz, kx + ky -2kz)$
Per quali $k$ si ha che $f$ è suriettiva?
Ho la matrice associata a $f$ rispetto alla base canonica $A = {: ( 3 , k+1, -3k),( k, k, -2k) :}$
e se non ho capito male dovrei discutere la dimensione dello span delle colonne di $A$ al variare di $k$.
Utilizzando Gauss (sommando alla terza riga la prima moltiplicata per $k$) ottengo ${: ( 3 , k),( k+1, k),( 0, k^2-2k):}$
Mi sono bloccato qui, non riesco a ridurla ulteriormente.
Come procedo?
Grazie in anticipo.
spero possiate darmi una mano perchè un esercizio apparentemente semplice mi sta facendo impazzire. Ciò sicuramente è dovuto anche alla mia ignoranza quindi siate clementi
Il testo è il seguente:
Data l'applicazione lineare $f$ : $\mathbb {R}^3$ $->$ $\mathbb {R}^2$ definita da $f (x,y,z) = (3x + (k+1)y -3kz, kx + ky -2kz)$
Per quali $k$ si ha che $f$ è suriettiva?
Ho la matrice associata a $f$ rispetto alla base canonica $A = {: ( 3 , k+1, -3k),( k, k, -2k) :}$
e se non ho capito male dovrei discutere la dimensione dello span delle colonne di $A$ al variare di $k$.
Utilizzando Gauss (sommando alla terza riga la prima moltiplicata per $k$) ottengo ${: ( 3 , k),( k+1, k),( 0, k^2-2k):}$
Mi sono bloccato qui, non riesco a ridurla ulteriormente.
Come procedo?
Grazie in anticipo.
Risposte
Le righe sono indipendenti se e solo se hanno almeno un minore non nullo:
$M_1=|(3, k+1),(k,k)|->3k-k^2-k=0-> k=0,k=2$
Ora per gli altri minori ci basta vedere cosa succede nei due casi particolari:
$M_2=|(3, -3k),(k,-2k)|->-6k+3k^2=0-> k=0,k=2$
$M_2=|(k+1, -3k),(k,-2k)|->-2k^2-2k+3k^2=0-> k=0,k=2$
Quindi visto che si annullano tutti e tre i minori è suriettiva solo se $k≠0 et k≠2$
$M_1=|(3, k+1),(k,k)|->3k-k^2-k=0-> k=0,k=2$
Ora per gli altri minori ci basta vedere cosa succede nei due casi particolari:
$M_2=|(3, -3k),(k,-2k)|->-6k+3k^2=0-> k=0,k=2$
$M_2=|(k+1, -3k),(k,-2k)|->-2k^2-2k+3k^2=0-> k=0,k=2$
Quindi visto che si annullano tutti e tre i minori è suriettiva solo se $k≠0 et k≠2$
"Maci86":
Le righe sono indipendenti se e solo se hanno almeno un minore non nullo:
$ M_1=|(3, k+1),(k,k)|->3k-k^2-k=0-> k=0,k=2 $
Ora per gli altri minori ci basta vedere cosa succede nei due casi particolari:
$ M_2=|(3, -3k),(k,-2k)|->-6k+3k^2=0-> k=0,k=2 $
$ M_2=|(k+1, -3k),(k,-2k)|->-2k^2-2k+3k^2=0-> k=0,k=2 $
Quindi visto che si annullano tutti e tre i minori è suriettiva solo se $ k≠0 et k≠2 $
Innanzitutto grazie per la risposta.
Non ho ancora chiarito il mio dubbio, cerco di spiegarmi meglio.
So che un'applicazione è suriettiva se se solo se $dimImf=m$, in questo caso 2.
Se $ k≠0 $ e $ k≠2 $ non concluderei che $dimImf=3$?
Come fa ad essere di dimensione 3 se arriva in uno spazio di dimensione 2? Puoi prendere come base due colonne qualsiasi e ottieni tutto lo spazio di dimensione 2, la terza colonna è per forza dipendente.
Grazie per l'aiuto, ora mi è tutto chiaro.
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