Applicazione lineare: ker e controimmagine
ciao a tutti..
ho un'appplicazione lineare (f:R2,2--->R4) definita cs:
$f( ( x , y ),( z , t ) )= (z,t+z,t+z,z)$
a) devo determinare base e dim del Ker (la funz è iniettiva?)
b) determinare f-1(1,1,1,1). (la funz è suriettiva?)
grazie a tutti in anticipo
ho un'appplicazione lineare (f:R2,2--->R4) definita cs:
$f( ( x , y ),( z , t ) )= (z,t+z,t+z,z)$
a) devo determinare base e dim del Ker (la funz è iniettiva?)
b) determinare f-1(1,1,1,1). (la funz è suriettiva?)
grazie a tutti in anticipo
Risposte
Ciao gtsolid. Innanzitutto benvenuto nel forum e buona permanenza 
In questo forum è buona norma, quando si chiede aiuto su un esercizio, proporre il proprio tentativo di soluzione o chiarire i punti dell'esercizio che non sono chiari.
In questo modo gli altri utenti potranno capire le tue difficoltà e potranno aiutarti meglio.
Attenzione poi a ricopiare per bene la traccia. Sei sicuro che sulla tua traccia sia scritto proprio così? Secondo me, la tua funzione è definita come
$f((x,y),(z,t))=(z,t+z,t+z,z)$
...come l'hai scritta tu, l'applicazione lineare non è ben definita!
In questo forum è buona norma, quando si chiede aiuto su un esercizio, proporre il proprio tentativo di soluzione o chiarire i punti dell'esercizio che non sono chiari.
In questo modo gli altri utenti potranno capire le tue difficoltà e potranno aiutarti meglio.
Attenzione poi a ricopiare per bene la traccia. Sei sicuro che sulla tua traccia sia scritto proprio così? Secondo me, la tua funzione è definita come
$f((x,y),(z,t))=(z,t+z,t+z,z)$
...come l'hai scritta tu, l'applicazione lineare non è ben definita!
"cirasa":
Ciao gtsolid. Innanzitutto benvenuto nel forum e buona permanenza
In questo forum è buona norma, quando si chiede aiuto su un esercizio, proporre il proprio tentativo di soluzione o chiarire i punti dell'esercizio che non sono chiari.
In questo modo gli altri utenti potranno capire le tue difficoltà e potranno aiutarti meglio.
Attenzione poi a ricopiare per bene la traccia. Sei sicuro che sulla tua traccia sia scritto proprio così? Secondo me, la tua funzione è definita come
$f((x,y),(z,t))=(z,t+z,t+z,z)$
...come l'hai scritta tu, l'applicazione lineare non è ben definita!
scusa hai ragione...
è giusta come hai scritto tu... ho sbagliato a copiare...
per trovare il ker io porrei tutto = a 0
ma ho visto in giro gente che prima si è trovata l'immagine, la sua dimensione e da lì è risalita a quella del ker tramite il noto teorema...
in ogni caso non arrivo a una conclusione
"gtsolid":Il procedimento che hai visto fare è giusto, ma non ti fornisce una base del $"ker"f$. Ti dà solo la sua dimensione.
ma ho visto in giro gente che prima si è trovata l'immagine, la sua dimensione e da lì è risalita a quella del ker tramite il noto teorema...
in ogni caso non arrivo a una conclusione
In ogni caso è giusto e, se ti va, dopo lo possiamo vedere.
Vediamo il metodo che avevi pensato di fare (che è giusto)
"gtsolid":
per trovare il ker io porrei tutto = a 0
Naturalmente devi porre tutto uguale allo zero di $RR^4$, cioè a $(0,0,0,0)$.
Bene. Fallo. Ti uscirà un sistema. Risolvilo.
"cirasa":Il procedimento che hai visto fare è giusto, ma non ti fornisce una base del $"ker"f$. Ti dà solo la sua dimensione.
[quote="gtsolid"]ma ho visto in giro gente che prima si è trovata l'immagine, la sua dimensione e da lì è risalita a quella del ker tramite il noto teorema...
in ogni caso non arrivo a una conclusione
In ogni caso è giusto e, se ti va, dopo lo possiamo vedere.
Vediamo il metodo che avevi pensato di fare (che è giusto)
"gtsolid":
per trovare il ker io porrei tutto = a 0
Naturalmente devi porre tutto uguale allo zero di $RR^4$, cioè a $(0,0,0,0)$.
Bene. Fallo. Ti uscirà un sistema. Risolvilo.[/quote]
mi è uscito z=0 e t=0 perchè il sistema diventava.
da questo io direi che il nucleo è il vettore nullo (0,0,0,0) ma non penso sia giusto... forse perche x e y sono libere e quindi dovrebbe essere (x,y,0,0)? non so
E certo il vettore generico di $RR^{2,2}$ è $((x,y),(z,t))$.
Esso appartiene al nucleo se $z=t=0$.
Quindi il nucleo è formato da tutte e sole le matrici nella forma $((x,y),(0,0))$.
Quindi una base di $"ker"f$ è ..... e quindi la dimensione è ......
Esso appartiene al nucleo se $z=t=0$.
Quindi il nucleo è formato da tutte e sole le matrici nella forma $((x,y),(0,0))$.
Quindi una base di $"ker"f$ è ..... e quindi la dimensione è ......
"cirasa":
E certo il vettore generico di $RR^{2,2}$ è $((x,y),(z,t))$.
Esso appartiene al nucleo se $z=t=0$.
Quindi il nucleo è formato da tutte e sole le matrici nella forma $((x,y),(0,0))$.
Quindi una base di $"ker"f$ è ..... e quindi la dimensione è ......
ergo il kerf ha dim=2 e una base potrebbe essere ((1,0,0,0) (0,1,0,0))
quindi dim imf = 2?
Una base di $"ker"f$ è formata dalle matrici $((1,0),(0,0)),((0,1),(0,0))$.
Tutto il resto è giusto.
Tutto il resto è giusto.
"cirasa":
Una base di $"ker"f$ è formata dalle matrici $((1,0),(0,0)),((0,1),(0,0))$.
Tutto il resto è giusto.
porca miseria... l'avessi saputo il giorno prima dell'esame e non quello dopo...
"cirasa":
Una base di $"ker"f$ è formata dalle matrici $((1,0),(0,0)),((0,1),(0,0))$.
Tutto il resto è giusto.
scusa ancora una cosa... avessi dovuto trovarmi l'immagine?
quale sarebbe stato il procedimento?
io avrei formato questa matrice $ ( ( 0 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ) ) $
l'avrei ridotta e poi?
o bisogno di una base
E' facile trovare un sistema di generatori dell'immagine di un'applicazione lineare $f:V\to W$ ($V$ e $W$ sono spazi vettoriali di dimensione finita)
Se $v_1,v_2,...v_n$ è una base di $V$, un sistema di generatori dell'immagine di $f$ è formato dai vettori $f(v_1),f(v_2),...,f(v_n)$.
Da questo sistema di generatori poi estrai una base.
In questo esercizio qual è una base nello spazio $RR^{2,2}$ in partenza?
Una volta fissata una base calcola l'immagine di $f$ nei vettori di tale base.
Otterrai così un sistema di generatori per $"Im"f$.
Se $v_1,v_2,...v_n$ è una base di $V$, un sistema di generatori dell'immagine di $f$ è formato dai vettori $f(v_1),f(v_2),...,f(v_n)$.
Da questo sistema di generatori poi estrai una base.
In questo esercizio qual è una base nello spazio $RR^{2,2}$ in partenza?
Una volta fissata una base calcola l'immagine di $f$ nei vettori di tale base.
Otterrai così un sistema di generatori per $"Im"f$.
"cirasa":
E' facile trovare un sistema di generatori dell'immagine di un'applicazione lineare $f:V\to W$ ($V$ e $W$ sono spazi vettoriali di dimensione finita)
Se $v_1,v_2,...v_n$ è una base di $V$, un sistema di generatori dell'immagine di $f$ è formato dai vettori $f(v_1),f(v_2),...,f(v_n)$.
Da questo sistema di generatori poi estrai una base.
In questo esercizio qual è una base nello spazio $RR^{2,2}$ in partenza?
Una volta fissata una base calcola l'immagine di $f$ nei vettori di tale base.
Otterrai così un sistema di generatori per $"Im"f$.
ok grandissimo.
mi sapresti dire qual è la controimmagine rispetto al vettore $(1,1,1,1)$?
a me viene $(x,y,1,0)$
è giusto?
No.
Hai $f:RR^{2,2}\to RR^4$.
La controimmagine di $(1,1,1,1)$ sarà un sottoinsieme di $RR^{2,2}$, non puoi ottenere un sottinsieme di $RR^4$.
Piuttosto tale controimmagine è formata dalle matrice nella forma $((x,y),(1,0))$.
Hai $f:RR^{2,2}\to RR^4$.
La controimmagine di $(1,1,1,1)$ sarà un sottoinsieme di $RR^{2,2}$, non puoi ottenere un sottinsieme di $RR^4$.
Piuttosto tale controimmagine è formata dalle matrice nella forma $((x,y),(1,0))$.
"cirasa":
No.
Hai $f:RR^{2,2}\to RR^4$.
La controimmagine di $(1,1,1,1)$ sarà un sottoinsieme di $RR^{2,2}$, non puoi ottenere un sottinsieme di $RR^4$.
Piuttosto tale controimmagine è formata dalle matrice nella forma $((x,y),(1,0))$.
grazie mi avete dato un grande aiuto
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