Applicazione Lineare Invertibile

[miniminor1]

Ciao, ho alcune difficoltà ad affrontare questo esercizio, riuscireste a dirmi come procedere con i vari passaggi.
L'esercizio è il seguente: "Dire se l’ applicazione lineare f : R2 -> R2 definita da f(1, 1) = (2, 1), f(1, 2) = (-1, 0) é invertibile, e, in caso affermativo, calcolarne l’ inversa."
La prima parte sono riuscito a svolgerla: ho trovato che l'applicazione è sia iniettiva che suriettiva (trovando prima la dimensione dell'immagine, poi col teorema del rango ho trovato la dimensione del nucleo) e di conseguenza è anche invertibile.
Però non sono riuscito a trovare l'inversa. Mi potreste aiutare.
Grazie anticipatamente..

[lordb]

Spero di non dirti una cosa sbagliata ma io farei così:

-costruisci la matrice A associata a f rispetto alla base $(1,1),(1,2)$ di partenza e a quella di arrivo $B=(1,0),(0,1)$:

$A=((2,-1),(1,0))$

Calcoli la sua inversa:

$A^(-1)=((0,1),(-1,2))$

Dal momento che f è un automorfismo $A^(-1)$ è la matrice associata all'applicazione inversa $T$ rispetto alla base $(1,0),(0,1)$ ora di partenza e a quella di arrivo $(1,1),(1,2) $.

Per definizione di matrice associata alla trasformazione sai che che le colonne rappresentano le componenti rispetto alla base di arrivo delle immagini della base di partenza.

$T(1,0)=(x,y)-=(0,-1)$
$T(0,1)=(z,u)-=(1,2)$

Calcoli le immagini della base di partenza dalle componenti rispetto la base di arrivo:

$(x,y)=0*(1,1)-1(1,2) => (x,y)=(-1,-2)$
$(z,u)=1*(1,1)+2(1,2) => (z,u)=(3,5)$

Quindi la trasformazione lineare inversa è $T(1,0)=(-1,-2), T(0,1)=(3,5)$