Applicazione Lineare, Difficile? Per Me si!

[Petervenkman]

Raga' ho un problema con una applicazione lineare
mi sapreste spiegare il procedimento punto per punto
vi prego, ho un esame a giorni.
Grazie mille anticipatamente a chi mida un po di solidarietà.
Ciaoooo

data f (x,y,z) = (4x+y+ z, 4y+ z, y + 4z). Si determini

• Ker f , una base di Ker f, la dimensione di Ker f,
• Im f, una base di Im f, la dimensione di Im f
• La matrice associata ad f rispetto alla base canonica di R3
• La matrice è diagonalizzabile?
• Se si scrivere una eventuale forma diagonale

[_Tipper]

Il vettore $((4x + y + z),(4y + z),(y + 4z))$ equivale a

$((4,1,1),(0,4,1),(0,1,4)) ((x),(y),(z))$

pertanto quella è la matrice che rappresenta l'applicazione lineare rispetto alla base canonica di $\mathbb{R}$.
Per trovare una base del ker, parti dall'equazione cartesiana del nucelo, che in questo caso è

$\{(4x + y + z = 0),(4y + z = 0),(y + 4z = 0):}$

e dopo qualche passaggio, se non ho sbagliato i conti, si trova che l'unica soluzione è

$\{(x=0),(y=0),(z=0):}$

Dunque il ker coincide con lo spazio nullo, quindi $\dim(ker(f)) = 0$. Sfruttando il teorema di nullità+rango, si deduce che l'immagine di $f$ coincide con $\mathbb{R}^3$.
Per vedere se la matrice è diagonalizzabile ti devi calcolare molteplicità algebrica e geometrica di ogni autovalori. Se tali molteplicità coincidono (per ogni autovalore) allora la matrice è diagonalizzabile, e, detti $\lambda_i$ gli autovalori, per $i = 1,2,3$, la matrice diagonalizzata è $"diag"(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"Tipper":... se non ho sbagliato i conti, si trova che l'unica soluzione è

$\{(x=0),(y=0),(z=0):}$

Non so se hai sbagliato i conti ma sicuramente il risultato è giusto dato che la matrice ha determinante non nullo

[_Tipper]

Eh be', in effetti, dato che la prima colonna ha due componenti nulle, si faceva prima ad osservare che il determinante è $4 (16 - 1)$.