Applicazione lineare con matrice

[quantum91]

Buonasera .
Oggi pomeriggio svolgendo alcuni esercizi per l'esame di Algebra lineare , mi sono imbattuto in questo esercizio , che onestamente no so nemmeno da dove iniziare !

Al variare del parametro h $in$ $RR$ , sia fh:$RR$$^3$ $->$ M2($RR$) l'applicazione lineare tale che:

f(x,y,z) = $((-2x+(h-2)y+(h+2)z,(1-h)x+2z),( (3-h)x+(2-h)y-hz , 2z-hz ))$

a) determinare i valori del parametro h tale che sia dim(Ker(fh))=1
b) per i valori h trovati al punto (a) , determinare ker(fh) ed Im(fh)
C) per i valori h trovati al punto (a) , stabilire se i vettori si M2(R)

Le definizioni di nucleo e immagine le conosco , anche cos'è una applicazione lineare , ma proprio non so che fare qui , spero possiate aiutarmi !

[minomic]

In conclusione abbiamo solo $h = 1$ per il quale la matrice diventa$$
\begin{pmatrix}-2&-1&3\\0&0&2\\2&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}
$$che ha effettivamente rango pari a $2$. Da qui riesci a proseguire?

[quantum91]

Cavolo , hai ragione , ho fatto l'errore nella mia matrice associata .. vabbe , ho corretto , ma ora la base di im di f è diversa .. In ogni caso quello che mi premeva di più é sapere se una matrice associata ad una applicazione lineare con uno spazio vettoriale di matrici si impostasse così . Ora mi hai chiarito il dubbio ...

[minomic]

Ok, svolgo il punto (c): trovare l'immagine significa descrivere quei vettori \(\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}\) che rendono risolvibile il sistema associato alla seguente matrice$$\left(\begin{array}{ccc|c}-2&-1&3&a\\0&0&2&b\\2&1&-1&c\\0&0&1&d\end{array}\right)$$Con trasformazioni di riga arriviamo a questa forma$$\left(\begin{array}{ccc|c}-2&-1&3&a\\0&0&2&b\\0&0&2&a+c\\0&0&1&d\end{array}\right)$$L'incompleta ha sicuramente rango pari a $2$, quindi il sistema è risolvibile se anche il rango della completa è pari a $2$. Prendiamo come minore$$\begin{pmatrix}-2&3\\0&2\end{pmatrix}$$ e lo orliamo con elementi della matrice completa. Otteniamo due minori $3\times 3$ che devono avere rango $2$, quindi determinante nullo$$
\begin{pmatrix}-2&3&a\\0&2&b\\0&2&a+c\end{pmatrix} \qquad \mbox{e} \qquad \begin{pmatrix}-2&3&a\\0&2&b\\0&1&d\end{pmatrix}
$$ Da questi ricaviamo le seguenti$$
\begin{cases}
a+c-b=0\\2d-b=0
\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}b=2d\\a=-c+2d\end{cases}
$$Quindi il generico vettore immagine avrà la seguente forma$$
\begin{pmatrix}-c+2d\\2d\\c\\d\end{pmatrix} = c\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}+d\begin{pmatrix}2\\2\\0\\1\end{pmatrix}
$$In conclusione una base per le immagini dell'applicazione è data da$$
\left\{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}2\\2\\0\\1\end{pmatrix}\right\}
$$