Applicazione lineare con matrice
Buonasera .
Oggi pomeriggio svolgendo alcuni esercizi per l'esame di Algebra lineare , mi sono imbattuto in questo esercizio , che onestamente no so nemmeno da dove iniziare !
Al variare del parametro h $in$ $RR$ , sia fh:$RR$$^3$ $->$ M2($RR$) l'applicazione lineare tale che:
f(x,y,z) = $((-2x+(h-2)y+(h+2)z,(1-h)x+2z),( (3-h)x+(2-h)y-hz , 2z-hz ))$
a) determinare i valori del parametro h tale che sia dim(Ker(fh))=1
b) per i valori h trovati al punto (a) , determinare ker(fh) ed Im(fh)
C) per i valori h trovati al punto (a) , stabilire se i vettori si M2(R)
Le definizioni di nucleo e immagine le conosco , anche cos'è una applicazione lineare , ma proprio non so che fare qui
, spero possiate aiutarmi ! 
Oggi pomeriggio svolgendo alcuni esercizi per l'esame di Algebra lineare , mi sono imbattuto in questo esercizio , che onestamente no so nemmeno da dove iniziare !
Al variare del parametro h $in$ $RR$ , sia fh:$RR$$^3$ $->$ M2($RR$) l'applicazione lineare tale che:
f(x,y,z) = $((-2x+(h-2)y+(h+2)z,(1-h)x+2z),( (3-h)x+(2-h)y-hz , 2z-hz ))$
a) determinare i valori del parametro h tale che sia dim(Ker(fh))=1
b) per i valori h trovati al punto (a) , determinare ker(fh) ed Im(fh)
C) per i valori h trovati al punto (a) , stabilire se i vettori si M2(R)
Le definizioni di nucleo e immagine le conosco , anche cos'è una applicazione lineare , ma proprio non so che fare qui
, spero possiate aiutarmi !
Risposte
mancava un pezzo , stabilire se i vettori u1= $|(2,2),(0,1)|$ e u2= $|(-1,0),(2,0)|$ formano una base per Im(fh)
Ti do un hint, se $dim_RR Kerf =1$ per il teorema di dimensione hai che $dimImf=dimRR^3-dimKerf=2$
Il secondo punto non sembra un problema.
Il terso devi verificare che $u_1 , u_2 \in Imf$ , dov'è il problema?
Il secondo punto non sembra un problema.
Il terso devi verificare che $u_1 , u_2 \in Imf$ , dov'è il problema?
Non so proprio come impostare l'esercizio , se al posto di una matrice avessi trovato delle normali equazioni , avrei messo a sistema . Ma in questo caso che si fa ??
Non è che per caso devo vedere per quale valore di h il rango della matrice è massimo ? Non sono molto pratico di dimensioni applicate alle matrici .
Oppure devo mettere a sistema le eq presenti nella matrice ???
"quantum91":
Non è che per caso devo vedere per quale valore di h il rango della matrice è massimo ? Non sono molto pratico di dimensioni applicate alle matrici .
Ehm, quale matrice intendi?
Se intendi la matrice associata a $f$ rispetto alle due basi (scelte da te) dei due spazi, devi determinare per quai h la matrice ha rango 2.
Ma se io applico il sistema "sia (a1,a2,a3) la base canonica di R3 , faccio f(a1) , f(a2) , f(a3) " non otterró 3 matrici ??
E quale sarebbe la base di una matrice . Non so proprio come trattare le matrici come elementi di un sottospazio .
Credo di aver capito , mi devo calcolare le 3 matrici associate alla base canonica di r3 , per poi sfruttare l'isomorfismo che associa a ad una matrice M2 un vettore in R4 ?? se è cosí l'intero esercizio è una scemenza .
Aspetta..
Allora , per esempio, prendiamo $B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$ base di $RR^3$ e $\dot(B)={ ((1,0),(0,0)),((0,1),(0,0)),((0,0),(1,0)),((0,0),(0,1))}$ di $M_2(RR)$ , sapresti calcolare la matrice associata ad f rispetto a tali basi?
Allora , per esempio, prendiamo $B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$ base di $RR^3$ e $\dot(B)={ ((1,0),(0,0)),((0,1),(0,0)),((0,0),(1,0)),((0,0),(0,1))}$ di $M_2(RR)$ , sapresti calcolare la matrice associata ad f rispetto a tali basi?
$f: (1,0,0) \to $ $((-2,0),(0,0))$ + $((0,1-h),(0,0))$ + $((0,0),(3-h,0))$ + $((0,0),(0,0))$ = $((-2,1-h),(3-h,0))$
$f: (0,1,0) \to $ $((h-2,0),(2-h,0))$
$f: (0,0,1) \to $$((h+2,2),(h,2-h))$
Ora questi qui diventerebbero 4 vettori del tipo ??
$f: (e_1) \to $ $((-2),(1-h),(3-h),(0))$ sempre se la corrispondenza $((a,b),(c,d)) = ((a),(b),(c),(d))$ è esatta
Perchè se è così la matrice associata è
$Af$ = $((-2,h-2,h+2),(1-h,0,2),(3-h,2-h,h),(0,0,2-h))$ $ inM_{4,3}(RR) $
$f: (0,1,0) \to $ $((h-2,0),(2-h,0))$
$f: (0,0,1) \to $$((h+2,2),(h,2-h))$
Ora questi qui diventerebbero 4 vettori del tipo ??
$f: (e_1) \to $ $((-2),(1-h),(3-h),(0))$ sempre se la corrispondenza $((a,b),(c,d)) = ((a),(b),(c),(d))$ è esatta
Perchè se è così la matrice associata è
$Af$ = $((-2,h-2,h+2),(1-h,0,2),(3-h,2-h,h),(0,0,2-h))$ $ inM_{4,3}(RR) $
Se questa è la matrice associata giusta allora $r(Af) =3$ $AA$ $h$ $!=$ $(1,2)$
Anche se , si puó definire corretta questa osservazione , la marrice è rettangolare , cambiando minore 3x3 avrei diversi valori che annullano , no ??
Anche se , si puó definire corretta questa osservazione , la marrice è rettangolare , cambiando minore 3x3 avrei diversi valori che annullano , no ??
Per $h=(1,2)$ $r(Af)=2$ quindi credo che siano questi i valori che soddisfano il punto $(a)$ in quanto '$dim[Im(f)] = r (Af)$ , e quindi per forza di cose $dim[Ker(f)]=1$
$h=1$
$im(f)=<((-2,0),(2,0)) , ((3,3),(1,1))>$
$ker(f)=<(-1/2,1,0)>$
$h=2$
$im(f)=<((-2,1),(1,0)) , ((4,2),(2,0))>$
$ker(f)=<(0,1,0)>$
Sempre se la matrice Af l'ho impostata bene
$im(f)=<((-2,0),(2,0)) , ((3,3),(1,1))>$
$ker(f)=<(-1/2,1,0)>$
$h=2$
$im(f)=<((-2,1),(1,0)) , ((4,2),(2,0))>$
$ker(f)=<(0,1,0)>$
Sempre se la matrice Af l'ho impostata bene
Effettivamente i nuclei hanno dim=1
E u1= $|(2,2),(0,1)|$ e u2= $|(-1,0),(2,0)|$ formano una base per Im(fh) in quanto linearmente indipendenti e della stessa dimensione di Im(f)
Potrei anche dire che questa applicazione lineare non è i iniettiva, ma è surriettiva ?? Come faccio a sapere se $Im(f) =m_2$
E u1= $|(2,2),(0,1)|$ e u2= $|(-1,0),(2,0)|$ formano una base per Im(fh) in quanto linearmente indipendenti e della stessa dimensione di Im(f)
Potrei anche dire che questa applicazione lineare non è i iniettiva, ma è surriettiva ?? Come faccio a sapere se $Im(f) =m_2$
Nessuno mi puo aiutare ?? Sta salendo la suspance .. XDXD
E fu silenzio ..
Credo che i 2 vettori non formino una base per le immagini , poiché non appartengono alle immagini stesse , vero ?
Ciao, per prima cosa sei sicuro che l'elemento di posto $(2, 2)$ della matrice che hai scritto nel primo post sia $2z-hz$?
Supponendo che sia così possiamo per semplicità fare questa associazione$$
\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}
$$Allora possiamo dire$$
f\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\1-h\\3-h\\0\end{pmatrix},\ \
f\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}h-2\\0\\2-h\\0\end{pmatrix},\ \
f\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}h+2\\2\\-h\\2-h\end{pmatrix}
$$Quindi la matrice associata all'applicazione lineare sarà$$
\begin{pmatrix}-2&h-2&h+2\\1-h&0&2\\3-h&2-h&-h\\0&0&2-h\end{pmatrix}
$$che si poteva dedurre anche subito dalla prima matrice!
Ora, come diceva Kashaman, imponi $dim$ $Imf = 2$ cioè che il rango della matrice sia $2$. Quali valori di $h$ trovi?
Supponendo che sia così possiamo per semplicità fare questa associazione$$
\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}
$$Allora possiamo dire$$
f\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\1-h\\3-h\\0\end{pmatrix},\ \
f\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}h-2\\0\\2-h\\0\end{pmatrix},\ \
f\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}h+2\\2\\-h\\2-h\end{pmatrix}
$$Quindi la matrice associata all'applicazione lineare sarà$$
\begin{pmatrix}-2&h-2&h+2\\1-h&0&2\\3-h&2-h&-h\\0&0&2-h\end{pmatrix}
$$che si poteva dedurre anche subito dalla prima matrice!
Ora, come diceva Kashaman, imponi $dim$ $Imf = 2$ cioè che il rango della matrice sia $2$. Quali valori di $h$ trovi?
Ah ho visto che questo pezzo lo avevi già fatto... 
Comunque attenzione perchè non è vero che per $h=2$ il rango di questa matrice sia $2$, infatti viene$$
\begin{pmatrix}-2&0&4\\-1&0&2\\1&0&-2\\0&0&0\end{pmatrix}
$$che ha rango $1$.
Comunque attenzione perchè non è vero che per $h=2$ il rango di questa matrice sia $2$, infatti viene$$
\begin{pmatrix}-2&0&4\\-1&0&2\\1&0&-2\\0&0&0\end{pmatrix}
$$che ha rango $1$.
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