Applicazione lineare

[Andre224]

ciao a tutti
premetto che in algebra lineare sono proprio impedito!!
L'esercizio è questo:
Sia $ S:RR^3rarrRR^3 $ l'applicazione lineare $ S: (x,y,z)=(2x+y,2x+y,z) $
a)Individuo base KerS, nucleoS
b)Autovalori S?
c)Scrivo base formata da autovettori di S
d)Discutere al variare di K il sistema $ S: (x,y,z)=(K^2,K,0) $
Il sistema è impossibile per . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Il sistema ammette un’unica soluzione per . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Il sistema ammette $ oo ^1 $ soluzioni per . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Il sistema ammette $ oo ^2 $ soluzioni per . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Inizialmente bisogna trovare la matrice associata. Già questo per me è un problema perchè sul mio libro questo argomento non è spiegato e su internet non trovo esempi di esercizi semplici per poter capire bene..
a) Io so che la base è un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano uno spazio vettoriale, il Ker (o nucleo) è l'insieme dei valori $ v $ tali che $ S(v)=0 $ . Sapendo questo come faccio a trovare la base?
b)questo punto lo so fare..basta sottrarre alla matrice associata una matrice $ AI=| ( A , 0 ),( 0 , A ) | $ in modo da trovare i valori di A tramite il determinante..
c)Per trovare gli autovettori sbaglio o basta sostituire gli autovalori al posto di A nella formula del determinante? e per trovare la base?
d) So che per lo studio del sistema devo considerare il rango e studiarlo con Cramer o Rouchè-Capelli a seconda del sistema ma..come faccio a trovare le soluzioni per i 4 casi distinti?

[j18eos]

CIa0,

iniziamo col determinare la matrice associata ad [tex]$S$[/tex], fissate una base ordinata [tex]$B_1$[/tex] dello spazio dominio ed una base ordinata [tex]$B_2$[/tex] dello spazio codominio, le righe della matrice [tex]$A$[/tex] sono le componenti secondo [tex]$B_2$[/tex] delle immagini dei vettori di [tex]$B_1$[/tex].

Nel tuo caso siano (per semplicità) [tex]$B_1=B_2=((1;0;0);\,(0;1;0);\,(0;0;1))=(e_1;\,e_2;\,e_3)$[/tex], risulta [tex]$S(e_1)=(2;2;0)=2e_1+2e_2$[/tex] quindi la prima riga di [tex]$A$[/tex] è il vettore [tex]$(2\,2\,0)$[/tex]. Lascio a te il resto!

[Andre224]

La seconda riga di $ A $ è il vettore $ (1 1 0) $
La terza riga è il vettore $ (0 0 1) $
Giusto?

[j18eos]

Sì; ora devi individuare il nucleo: hai almeno un'idea?

[Andre224]

eh no è proprio quello il problema..non ho esempi di esercizi semplici..ho solo teoria..
il nucleo è l'insieme dei vettori che hanno come immagine il vettore nullo..
dim Im=rango di A
dim Ker+dim Im=n

[j18eos]

Beh, basta risolvere il sistema matriciale [tex]$AX=\underline0$[/tex] con [tex]$X$[/tex] vettore delle incognite!

Almeno sai determinare la dimensione del nucleo (detta nullità di [tex]$S$[/tex]).

[Andre224]

cioè $ { ( 2x+2y=0 ),( x+y=0),( z=0):} $
trovo che $ { ( x=-y),( z=0):} $

[j18eos]

Meglio scrivere [tex]$ker S=\{(x;y;z)\in\mathbb{R}^3\mid\begin{cases}x+y=0\\z=0\end{cases}\}$[/tex], sì: è corretto!

Idee per determinare la dimensione eppoi una base?

[Andre224]

sinceramente no..

[j18eos]

La formula per calcolare la dimensione la conosci, l'hai scritta tu stesso! Inizia ad usarla.

[Andre224]

ok per la dim devo trovare il rango e lo so fare..ma la dim Ker quale sarebbe?

[Andre224]

forse ho capito...per trovare dim Ker faccio il numero di equazioni (ovvero 3) meno il rango giusto?

[j18eos]

Bravissimo! Domanda d'esame: di quanti vettori è costuita la base che tu cerchi?

[Andre224]

scusa se sono così lento a fare queste cose per te banali ma io non riesco davvero..comunque penso 3 vettori..
per calcolare il rango di $ | ( 2 , 2, 0),( 1, 1, 0),( 0, 0, 1) | $
so che le prima due righe sono linearmente dipendenti quindi trovo rango matrice $ | ( 2 , 2, 0),( 0, 0, 1) | $
il rango è 1 $ rArr $ dim Ker= 3-1=2

[j18eos]

Non mi devi nessuna scusa!

Se il nucleo avesse dimensione 3 significa che l'immagine sarebbe il solo vettore nullo cioé il rango di tale matrice sarebbe 0, ovvero che [tex]$S$[/tex] l'applicazione lineare costante a [tex]$\underline0$[/tex].

Ma quanto ti viene il rango? Secondo il mio occhio è 2!

[Andre224]

se prendo la matrice con rango 2 trovo il determinante uguale a 0 quindi no..

[j18eos]

Ti trovi 2 righe indipendenti per cui il rango è 2 ed il determinante della matrice 0.

Teorema: Siano [tex]$\mathbb{K}$[/tex] un campo, [tex]$n$[/tex] un numero naturale non nullo ed [tex]$M\in\mathbb{K}_n^n$[/tex] (matrice quadrata di ordine [tex]$n$[/tex]a coefficienti in [tex]$\mathbb{K}$[/tex]); è: [tex]$\det M=0\iff \mathrm{rank}\,(M)

Quindi la nullità di [tex]$S$[/tex] è 1!

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[Andre224]

ok perfetto! e per la base come faccio?

[j18eos]

La dimensione è 1 per cui quanti vettori (non nulli ed indipendenti) ti servono?

[Andre224]

2? non lo so..

[j18eos]

Si definisce dimensione di uno spazio vettoriale su un campo la cardinalità comune delle sue basi; tale definizione discende dal teorema di esistenza delle basi di uno spazio vettoriale... ti serve un unico vettore non nullo -_-

A questo punto mi sento di chiederti di chiarire le tue idee teoriche di algebra lineare!