Applicazione lineare
ciao a tutti
premetto che in algebra lineare sono proprio impedito!!
L'esercizio è questo:
Sia $ S:RR^3rarrRR^3 $ l'applicazione lineare $ S: (x,y,z)=(2x+y,2x+y,z) $
a)Individuo base KerS, nucleoS
b)Autovalori S?
c)Scrivo base formata da autovettori di S
d)Discutere al variare di K il sistema $ S: (x,y,z)=(K^2,K,0) $
Il sistema è impossibile per . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Il sistema ammette un’unica soluzione per . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Il sistema ammette $ oo ^1 $ soluzioni per . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Il sistema ammette $ oo ^2 $ soluzioni per . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inizialmente bisogna trovare la matrice associata. Già questo per me è un problema perchè sul mio libro questo argomento non è spiegato e su internet non trovo esempi di esercizi semplici per poter capire bene..
a) Io so che la base è un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano uno spazio vettoriale, il Ker (o nucleo) è l'insieme dei valori $ v $ tali che $ S(v)=0 $ . Sapendo questo come faccio a trovare la base?
b)questo punto lo so fare..basta sottrarre alla matrice associata una matrice $ AI=| ( A , 0 ),( 0 , A ) | $ in modo da trovare i valori di A tramite il determinante..
c)Per trovare gli autovettori sbaglio o basta sostituire gli autovalori al posto di A nella formula del determinante? e per trovare la base?
d) So che per lo studio del sistema devo considerare il rango e studiarlo con Cramer o Rouchè-Capelli a seconda del sistema ma..come faccio a trovare le soluzioni per i 4 casi distinti?
premetto che in algebra lineare sono proprio impedito!!
L'esercizio è questo:
Sia $ S:RR^3rarrRR^3 $ l'applicazione lineare $ S: (x,y,z)=(2x+y,2x+y,z) $
a)Individuo base KerS, nucleoS
b)Autovalori S?
c)Scrivo base formata da autovettori di S
d)Discutere al variare di K il sistema $ S: (x,y,z)=(K^2,K,0) $
Il sistema è impossibile per . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Il sistema ammette un’unica soluzione per . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Il sistema ammette $ oo ^1 $ soluzioni per . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Il sistema ammette $ oo ^2 $ soluzioni per . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inizialmente bisogna trovare la matrice associata. Già questo per me è un problema perchè sul mio libro questo argomento non è spiegato e su internet non trovo esempi di esercizi semplici per poter capire bene..
a) Io so che la base è un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano uno spazio vettoriale, il Ker (o nucleo) è l'insieme dei valori $ v $ tali che $ S(v)=0 $ . Sapendo questo come faccio a trovare la base?
b)questo punto lo so fare..basta sottrarre alla matrice associata una matrice $ AI=| ( A , 0 ),( 0 , A ) | $ in modo da trovare i valori di A tramite il determinante..
c)Per trovare gli autovettori sbaglio o basta sostituire gli autovalori al posto di A nella formula del determinante? e per trovare la base?
d) So che per lo studio del sistema devo considerare il rango e studiarlo con Cramer o Rouchè-Capelli a seconda del sistema ma..come faccio a trovare le soluzioni per i 4 casi distinti?
Risposte
ok! ma quindi sto vettore quale sarebbe?
Dev'essere un vettore non nullo di [tex]$\mathrm{ker}S$[/tex], vatti a rivedere come lo abbiamo identificato tra questi post!
posso prendere o 2x+2y o x+y giusto?
Quelli non sono vettori di [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex], sono espressioni letterali; la definizione che ricerchi è qui (VIII post).
la risposta è $ (1,1,0) $ o (1,-1,0)
La II in quanto [tex]$(1;1;0)\not\in\mathrm{ker}S$[/tex]! 
Per calcolare gli autovalori devi risolvere l'equazione [tex]$\det(A-\lambda I_3^3)=0$[/tex] ove [tex]$I_3^3$[/tex] è la matrice identica di ordine 3! Rivedi il primo post in quanto hai sbagliato a scriverla
Per calcolare gli autovalori devi risolvere l'equazione [tex]$\det(A-\lambda I_3^3)=0$[/tex] ove [tex]$I_3^3$[/tex] è la matrice identica di ordine 3! Rivedi il primo post in quanto hai sbagliato a scriverla
ok!
Per quanto riguarda gli autovalori intendevo dire quello che hai detto tu..ovvero ho messo la A al posto di lambda perchè non trovo il simbolo..e poi la matrice è ovviamente di ordine 3x3 perchè ho una matrice associata di ordine 3x3..mi sono spiegato male io..
Per quanto riguarda gli autovalori intendevo dire quello che hai detto tu..ovvero ho messo la A al posto di lambda perchè non trovo il simbolo..e poi la matrice è ovviamente di ordine 3x3 perchè ho una matrice associata di ordine 3x3..mi sono spiegato male io..
OK 
Questo è il codice \$\lambda\$ ma puoi vedere le formule.
Questo è il codice \$\lambda\$ ma puoi vedere le formule.
ah grazie! questo elenco non l'avevo visto..
Per gli autovalori ho fatto:
$ detA=(2-lambda)[(1-lambda)(1-lambda)]-2[1-lambda]=-lambda^3+4lambda^2-3lambda=0 $
Gli autovalori sono: $ lambda=0 $ $ lambda=1 $ $ lambda=3 $
Per gli autovalori ho fatto:
$ detA=(2-lambda)[(1-lambda)(1-lambda)]-2[1-lambda]=-lambda^3+4lambda^2-3lambda=0 $
Gli autovalori sono: $ lambda=0 $ $ lambda=1 $ $ lambda=3 $
Prego, di nulla.
Sì, mi trovo col risultato!
Sai ricavare i relativi autovalori dalla definizione di questi ultimi?
Sì, mi trovo col risultato!
Sai ricavare i relativi autovalori dalla definizione di questi ultimi?
un autovettore di una trasformazione lineare è un vettore non nullo che non cambia direzione nella trasformazione. Il vettore può cambiare quindi solo per moltiplicazione di uno scalare, chiamato autovalore.
Ora non vorrei dire cavolate..ma..se devo trovare una base di autovettori..moltiplico la base trovata prima per gli autovalori?
Ora non vorrei dire cavolate..ma..se devo trovare una base di autovettori..moltiplico la base trovata prima per gli autovalori?
Hai detto una cavolata: la base che hai trovato è di [tex]$\mathrm{ker}S$[/tex]!
Secondo la definizione devi risolvere le equazioni matriciali [tex]$AX=\lambda X$[/tex] ove [tex]$\lambda\in\{0;1;3\}$[/tex] ed [tex]$X$[/tex] generico vettore delle incognite!
EDIT: Per [tex]$\lambda=0$[/tex] chi hai?
Secondo la definizione devi risolvere le equazioni matriciali [tex]$AX=\lambda X$[/tex] ove [tex]$\lambda\in\{0;1;3\}$[/tex] ed [tex]$X$[/tex] generico vettore delle incognite!
EDIT: Per [tex]$\lambda=0$[/tex] chi hai?
Per $ lambda=0 $ : $ { ( 2x+2y=0 ),( x+y=0 ),( z=0 ):} rArr { ( x+y=0 ),( z=0 ):} $
Per $ lambda=1 $ : $ { ( x+2y=0 ),( x=0 ):} rArr { ( x=0 ),( y=0 ):} $
Per $ lambda=3 $ : $ { ( -x+2y=0 ),( x-2y=0 ),( -2z=0 ):} rArr { ( x-2y=0 ),( z=0):} $
quindi per $ lambda=0 $ la base è $ (1,-1,0) $
per $ lambda=1 $ la base è $ (0,0,0) $
per $ lambda=3 $ la base è $ (1,2,0) $
quale devo prendere?
Per $ lambda=1 $ : $ { ( x+2y=0 ),( x=0 ):} rArr { ( x=0 ),( y=0 ):} $
Per $ lambda=3 $ : $ { ( -x+2y=0 ),( x-2y=0 ),( -2z=0 ):} rArr { ( x-2y=0 ),( z=0):} $
quindi per $ lambda=0 $ la base è $ (1,-1,0) $
per $ lambda=1 $ la base è $ (0,0,0) $
per $ lambda=3 $ la base è $ (1,2,0) $
quale devo prendere?
IL I caso chi hai?
Al II caso; secondo i tuoi conti, [tex]$z$[/tex] è libera da vincoli aritmetici per cui ti devi fermare al II sistema!
Sai determinare le dimensioni degl'insiemi di vettori che essi determinano?
EDIT: II&III base sono out!
(Linguaggio da baseball)
Al II caso; secondo i tuoi conti, [tex]$z$[/tex] è libera da vincoli aritmetici per cui ti devi fermare al II sistema!
Sai determinare le dimensioni degl'insiemi di vettori che essi determinano?
EDIT: II&III base sono out!
(Linguaggio da baseball)
perfetto ahahah 
comunque adesso che ho i valori di x y z nei tre casi..cosa devo fare? non sono capace di determinare le dimensioni degl'insiemi di vettori che essi determinano
comunque adesso che ho i valori di x y z nei tre casi..cosa devo fare? non sono capace di determinare le dimensioni degl'insiemi di vettori che essi determinano
Correggi il II caso, avendo 3 sistemi di 2 equazioni lineari indipendenti è facile determinare la dimensione degli spazi vettoriali che essi determinano.
Il III vettore è errato, fissato [tex]$x=1$[/tex] è [tex]$y=?$[/tex]
Il III vettore è errato, fissato [tex]$x=1$[/tex] è [tex]$y=?$[/tex]
ho modificato il sistema nel caso 2.
Il terzo vettore è $ (1,1/2,0) $
Il terzo vettore è $ (1,1/2,0) $
Però hai dimenticato il II! 
Ti manca solo da verificare che gli autospazi abbiano tutti dimensione 1 cosicché i vettori da te evidenziati costituiscono la base degli autovettori da te ricercata!
Ti manca solo da verificare che gli autospazi abbiano tutti dimensione 1 cosicché i vettori da te evidenziati costituiscono la base degli autovettori da te ricercata!
sto svalvolando completamente!!
riepilogando i tre vettori sono:
$ (1,-1,0) $
$ (0,0) $
$ (1,1/2,0) $
come faccio a verifacare la dimensione degli autospazi?
riepilogando i tre vettori sono:
$ (1,-1,0) $
$ (0,0) $
$ (1,1/2,0) $
come faccio a verifacare la dimensione degli autospazi?
"j18eos":ovvero [tex]$3-2=1$[/tex]!
...avendo 3 sistemi di 2 equazioni lineari indipendenti è facile determinare la dimensione degli spazi vettoriali che essi determinano...
Il II vettore può essere [tex]$(0;0;1)$[/tex]!
Esercizio concluso
così la smetto di svalvolarti!OUT OF SELF: Rileggiti tutto quando ti sarai riassemblato a dovere!
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