Applicazione lineare
Ora ho dei dubbi su questo esercizio molto farcito:
http://hosting05.imagecross.com/image-h ... ne0003.gif
Comincio col determinare la matrice associata ad f rispetto alle basi canoniche di $RR^4$:
$v_1=e_1+e_2, v_2=e_2,v_3=e_3+e_4,v_4=e_3-e_4$.
Dunque perveniamo al sistema:
${f(e_1)+f(e_2)=(h,h+2,h+2,h+1), f(e_2)=(0,h+2,h+2,h+1), f(e_3)+f(e_4)=(0,h-2,h-1,h), f(e_3)-f(e_4)=(0,h,h+1,h)}$.
Una volta risolto questo sistema posso scrivere la matrice associata ad f cercata:
$M=((h,0,0,0),(0,h+2,h-1,-1),(0,h+2,h,-1),(0,h+1,h,0))$
Riducendola per righe si ottiene: $((h,0,0,0),(0,h+2,h-1,-1),(0,0,1,0),(0,h+1,0,0))$.
Discutiamola per i diversi valori di h.
Se h=0 il rango è tre, quindi dim Im f=3, da cui Im f=$RR^3$. Le colonne di M generano Im f, dunque basta prendere tre vettori l. indipendenti dalla matrice per costituire una base di Im f. Per determinare l'equazione caratteristica di Im f mi costruisco una nuova matrice ove le righe hanno gli elementi delle colonne di M, altresì:
$((0,0,0,0),(0,2,0,1),(0,-1,1,0),(0,-1,0,0),(x,y,z,t))$
Ridotta per righe si arriva a $x=0$, dunque $Im f={(x,y,z,t) in RR^4| x=0}
In seguito mi determino Ker f: dim Ker f=1, risolvo il sistema omogeneo $M x (x,y,z,t) = (0,0,0,0)$ risultando che gli elementi di ker f avranno la forma $(x,0,0,0)$.
I miei problemi vengono nel discutere il caso in cui $h=-1$. L'equazione caratteristica di Im f non mi risulta essere $y+z=0$ (dal risultato del libro). Io ho cercato di calcolarla come ho fatto poche righe sopra...
Inoltre non ho ben chiaro l'ultimo punto dell'esercizio...
Grazie ragazzi
http://hosting05.imagecross.com/image-h ... ne0003.gif
Comincio col determinare la matrice associata ad f rispetto alle basi canoniche di $RR^4$:
$v_1=e_1+e_2, v_2=e_2,v_3=e_3+e_4,v_4=e_3-e_4$.
Dunque perveniamo al sistema:
${f(e_1)+f(e_2)=(h,h+2,h+2,h+1), f(e_2)=(0,h+2,h+2,h+1), f(e_3)+f(e_4)=(0,h-2,h-1,h), f(e_3)-f(e_4)=(0,h,h+1,h)}$.
Una volta risolto questo sistema posso scrivere la matrice associata ad f cercata:
$M=((h,0,0,0),(0,h+2,h-1,-1),(0,h+2,h,-1),(0,h+1,h,0))$
Riducendola per righe si ottiene: $((h,0,0,0),(0,h+2,h-1,-1),(0,0,1,0),(0,h+1,0,0))$.
Discutiamola per i diversi valori di h.
Se h=0 il rango è tre, quindi dim Im f=3, da cui Im f=$RR^3$. Le colonne di M generano Im f, dunque basta prendere tre vettori l. indipendenti dalla matrice per costituire una base di Im f. Per determinare l'equazione caratteristica di Im f mi costruisco una nuova matrice ove le righe hanno gli elementi delle colonne di M, altresì:
$((0,0,0,0),(0,2,0,1),(0,-1,1,0),(0,-1,0,0),(x,y,z,t))$
Ridotta per righe si arriva a $x=0$, dunque $Im f={(x,y,z,t) in RR^4| x=0}
In seguito mi determino Ker f: dim Ker f=1, risolvo il sistema omogeneo $M x (x,y,z,t) = (0,0,0,0)$ risultando che gli elementi di ker f avranno la forma $(x,0,0,0)$.
I miei problemi vengono nel discutere il caso in cui $h=-1$. L'equazione caratteristica di Im f non mi risulta essere $y+z=0$ (dal risultato del libro). Io ho cercato di calcolarla come ho fatto poche righe sopra...
Inoltre non ho ben chiaro l'ultimo punto dell'esercizio...
Grazie ragazzi
Risposte
Se non capisco dove sbaglio, non riesco ad andare avanti... vi porto un altro esempio...
In $RR^4$ è assegnato l'endomorfismo f tale che $f(x,y,z,t)=(-y+z, y-z, 2x-y-z, ht)$ dove $h in RR$.
a) studiare l'endomorfismo f, al variare di $h in RR$.
Ho scannerizato la mia risoluzione:
http://hosting06.imagecross.com/image-h ... ne0015.jpg
http://hosting06.imagecross.com/image-h ... ne0016.jpg
Come si evince dal secondo link, l'equazione caratteristica di Im f è ${(x,y,z,t) in RR^4: z=0, t=0}$. E mi chiedo come possa essere, visto che $dim Im f=3$.. dove sbaglio???
Per ricavarmi la legge di Im f devo prendere una base di Im f date dalle colonne linearmente indipendenti della matrice associata all'applicazione lineare rispetto alle basi canoniche, mi scrivo una matrice contenente i vettori della base di Im f.
Grazie a chi mi aiuterà, non ci dormo la notte ormai grrrrr
In $RR^4$ è assegnato l'endomorfismo f tale che $f(x,y,z,t)=(-y+z, y-z, 2x-y-z, ht)$ dove $h in RR$.
a) studiare l'endomorfismo f, al variare di $h in RR$.
Ho scannerizato la mia risoluzione:
http://hosting06.imagecross.com/image-h ... ne0015.jpg
http://hosting06.imagecross.com/image-h ... ne0016.jpg
Come si evince dal secondo link, l'equazione caratteristica di Im f è ${(x,y,z,t) in RR^4: z=0, t=0}$. E mi chiedo come possa essere, visto che $dim Im f=3$.. dove sbaglio???
Per ricavarmi la legge di Im f devo prendere una base di Im f date dalle colonne linearmente indipendenti della matrice associata all'applicazione lineare rispetto alle basi canoniche, mi scrivo una matrice contenente i vettori della base di Im f.
Grazie a chi mi aiuterà, non ci dormo la notte ormai grrrrr
"Bob_inch":
Se non capisco dove sbaglio, non riesco ad andare avanti... vi porto un altro esempio...
In $RR^4$ è assegnato l'endomorfismo f tale che $f(x,y,z,t)=(-y+z, y-z, 2x-y-z, ht)$ dove $h in RR$.
Basta scrivere la matrice:
$((0,-1,1,0),(0,1,-1,0),(2,-1,-1,0),(0,0,0,h))$
si vede chiaramente che il determinante è nullo
(la seconda riga è opposta alla prima)
Credo si possa affermare che:
1) se $h \ne 0$ il rango è 3
2) se $h = 0$ il rango è 2
1) se $h \ne 0$ il rango è 3
2) se $h = 0$ il rango è 2
Esattamente come ho fatto io (prova a dare un'occhiata ai link)... Quello di cui non riesco a capacitarmi è relativamente al secondo link, nel "calcolo dell'equazione caratteristica di Im f". E' questo il mio problema principale...
"Bob_inch":
Esattamente come ho fatto io (prova a dare un'occhiata ai link)... Quello di cui non riesco a capacitarmi è relativamente al secondo link, nel "calcolo dell'equazione caratteristica di Im f". E' questo il mio problema principale...
L'immagine dell'applicazione è generata da 3 vettori (se $h \ne 0$):
basta prendere la seconda, la terza e la quarta colonna della matrice.
Si vede facilmente che la prima colonna può essere ottenuta prendendo:
prima col. = - (seconda col. + terza col.)
Franced, mi sa che ho capito dove sbaglio... dovrei prestare maggiore attenzione quando mi vado a prendere le colonne generatrici di Im f... devo andare a verificare che siano linearmente indipendenti!!!
Per provare che siano l. indipendenti posso calcolarmi il determinante (purché i vettori mi diano una matrice quadrata) oppure esaminare l'equ. vettoriale $O_v=av_1+bv_2+... $.
Quindi credi che anche nel primo esercizio del primo post abbia fatto lo stesso errore?
Per provare che siano l. indipendenti posso calcolarmi il determinante (purché i vettori mi diano una matrice quadrata) oppure esaminare l'equ. vettoriale $O_v=av_1+bv_2+... $.
Quindi credi che anche nel primo esercizio del primo post abbia fatto lo stesso errore?
"Bob_inch":
I miei problemi vengono nel discutere il caso in cui $h=-1$. L'equazione caratteristica di Im f non mi risulta essere $y+z=0$ (dal risultato del libro).
Neanche a me.
Tra l'altro curisamente mi viene la stessa equazione ($y=z+w$) sia con la base data ${v_1,v_2,v_3,v_4}$ che con la base canonica.
Forse ha sbagliato il testo.
"Martino":
[quote="Bob_inch"]I miei problemi vengono nel discutere il caso in cui $h=-1$. L'equazione caratteristica di Im f non mi risulta essere $y+z=0$ (dal risultato del libro).
Neanche a me.
Tra l'altro curisamente mi viene la stessa equazione ($y=z+w$) sia con la base data ${v_1,v_2,v_3,v_4}$ che con la base canonica.
Forse ha sbagliato il testo.[/quote]
Potresti scrivermi una bozza del tuo procedimento? E' lo stesso dei miei link o hai proceduto diversamente?
"franced":
[quote="Bob_inch"]
Se non capisco dove sbaglio, non riesco ad andare avanti... vi porto un altro esempio...
In $RR^4$ è assegnato l'endomorfismo f tale che $f(x,y,z,t)=(-y+z, y-z, 2x-y-z, ht)$ dove $h in RR$.
Basta scrivere la matrice:
$((0,-1,1,0),(0,1,-1,0),(2,-1,-1,0),(0,0,0,h))$
si vede chiaramente che il determinante è nullo
(la seconda riga è opposta alla prima)[/quote]
Se $h \ne 0$ l'immagine può essere vista generata dai tre vettori:
$((0),(0),(1),(0))$, $((0),(0),(0),(1))$ e $((1),(-1),(0),(0))$
quindi un vettore generico è uguale ad una combinazione lineare
di questi tre:
$((x),(y),(z),(t)) = \lambda ((0),(0),(1),(0)) + \mu ((0),(0),(0),(1)) + k((1),(-1),(0),(0))$
trovi:
$((x=k),(y=-k),(z=\lambda),(t=\mu))$
(non sono riuscito a scrivere con la parentesi { ... )
quindi l'equazione è
$x+y=0$
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