Applicazione lineare.
Ragazzi questo è un esercizio d'esame uscito poco fa..ho provato a svolgerlo e vorrei sapere se ho eseguito i passaggi correttamente..se qualcuno mi potrebbe aiutare gliene sarei molto grato!!
Sia \(\displaystyle f:R^3 \longrightarrow R^4 \) l'applicazione lineare dipendente da un parametro \(\displaystyle\lambda \in R \)seguente:
\(\displaystyle f:\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \) \(\displaystyle := \) \(\displaystyle\begin{bmatrix} 2x_1+\lambda x_3 \\ x_1 - \lambda x_2 + x_3 \\ -2x_2 + x_3 \\ x_1 + x_2 \end{bmatrix} \).
1) Dire per quali valori di \(\displaystyle \lambda \) il nucleo di f è diverso da zero.
2) Determinare , se esiste, una base del nucleo di f.
3) determinare, se esiste, una base dell'immagine di f.
4) Dire se per qualche valori di \(\displaystyle \lambda \) il vettore \(\displaystyle v=(0,2,2,0)^t \) è nell'immagine di f.
5) Per una valore di \(\displaystyle \lambda \) scelto a piacere, determinare l'immagine del vettore \(\displaystyle w= (1,1,1)^t \).
SVOLGIMENTO: Ho ridotto per righe la matrice \(\displaystyle A= \)\(\displaystyle
\begin{bmatrix} +2 + 0 + \lambda \\ +1 -\lambda +1
\\ +0 -2 +1 \\+1 + 1 + 0 \end{bmatrix} \) scegliendo come pivot primo pivot \(\displaystyle 2 \) e come secondo pivot \(\displaystyle -2 \) scambiando la terza riga con la seconda al fine di ottenere una matrice ridotta per gradini con pivot \(\displaystyle 2 e -2 \). Ho così ottenuto la matrice \(\displaystyle B'= \)\(\displaystyle
\begin{bmatrix} +2 + 0 + \lambda \\ +0 -2 +1
\\ +0 +0 +(1-\lambda) \\+0 + 0+ ( \frac{1-\lambda}{2} ) \end{bmatrix} \). Da qui ho capito che allora i casi da studiare per rispondere al punto 1) erano \(\displaystyle \lambda=0 \),\(\displaystyle \lambda=1 \),\(\displaystyle \lambda \notin \begin{Bmatrix} 0 , 1 \end{Bmatrix}\). Verificare per quali valori di \(\displaystyle \lambda \) il nucleo di f è diverso da zero significa dunque considerare la matrice \(\displaystyle B' \), sostituire in essa i valori appena trovati di \(\displaystyle \lambda \) e svolgere il sistema omogeneo associato \(\displaystyle N(f)=0 \). Ho ottenuto delle matrici complete dove ovviamente la matrice dei termini noti era tutta uguale a 0 ma bisognava ridurla per righe e risolvere il sistema omogeneo. Alla fine mi sono quindi trovato che il \(\displaystyle N(f)\notin 0 \) solo quando \(\displaystyle \lambda= 1 \) ed il nucleo di f \(\displaystyle = ( \frac{-t}{2}, \frac{t}{2},t). \). Punto 2) Determinare una base del nucleo di f significa trovare dei vettori linearmente indipendenti che soddisfino l'equazione \(\displaystyle AX=0 \). Quindi utilizzando \(\displaystyle \lambda=1 \) partendo dalla matrice ridotta per righe \(\displaystyle B' \) ho ottenuto una matrice \(\displaystyle B''= \)\(\displaystyle \begin{bmatrix} +2 + 0 + 1 \\ +0 -1 +\frac{1}{2}
\\ +0 +0 +0 \\+0 + 0 + 0 \end{bmatrix} \) ed essendo i vettori così ottenuti linearmente indipendenti sicuramente costituivano una base del nucleo di f. Quindi \(\displaystyle B(N)= v_1=(2,0,1),v_2=(0,-1,\frac{1}{2}) \).
Punto 3) Determinare una base dell'immagine di f significa considerare lo spazio generato dalle colonne di \(\displaystyle A \) ovvero ridurre la matrice \(\displaystyle B= A^t \). Quindi ho ottenuto utilizzando \(\displaystyle \lambda=1 \) la matrice \(\displaystyle B \)trasposta di \(\displaystyle A \) \(\displaystyle = \begin{bmatrix} +2 + 1 + 0 +1\\ +0 -1-2+1
\\ +1 +01 +1 +0 \end{bmatrix} \). Quindi una base dell'immagine di f è data dai vettori \(\displaystyle v_1=( 2,1,0,1),v_2=(0,-1,-2,1) \) perchè la matrice ridotta ottenuta presenta terza riga nulla. Ora mi chiedo, in base al teorema delle dimensioni non mi trovo bene nel calcolare le dimensioni dell'immagine e del nucleo per verificare di aver svolto bene l'esercizio, ma comunque quello che mi lascia perplesso è il fatto che l'immagine ha 2 vettori con 4 componenti mentre il nucleo ha 2 vettori con 3 componenti, quindi sto passando da \(\displaystyle R^3 \)con il nucelo ad \(\displaystyle R^4 \) con l'immagine e non so se possa essere giusto o meno. Detto ciò, i punti 4) 5) non saprei proprio svolgerli perchè non so se quando mi chiede di scegliere un \(\displaystyle \lambda \) a piacere posso scegliere solo i valori risultati dalla riduzione della matrice originaria e quindi quei valori relativi all'esercizio o posso scegliere ad esempio anche 2,3 non sò. Comunque ovviamente non chiedo di svolgere i punti 3 e 4 ma almeno di chiarirmi i passaggi fondamentali e cosa dovrei trovarmi in linea teorica. Grazie mille
Sia \(\displaystyle f:R^3 \longrightarrow R^4 \) l'applicazione lineare dipendente da un parametro \(\displaystyle\lambda \in R \)seguente:
\(\displaystyle f:\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \) \(\displaystyle := \) \(\displaystyle\begin{bmatrix} 2x_1+\lambda x_3 \\ x_1 - \lambda x_2 + x_3 \\ -2x_2 + x_3 \\ x_1 + x_2 \end{bmatrix} \).
1) Dire per quali valori di \(\displaystyle \lambda \) il nucleo di f è diverso da zero.
2) Determinare , se esiste, una base del nucleo di f.
3) determinare, se esiste, una base dell'immagine di f.
4) Dire se per qualche valori di \(\displaystyle \lambda \) il vettore \(\displaystyle v=(0,2,2,0)^t \) è nell'immagine di f.
5) Per una valore di \(\displaystyle \lambda \) scelto a piacere, determinare l'immagine del vettore \(\displaystyle w= (1,1,1)^t \).
SVOLGIMENTO: Ho ridotto per righe la matrice \(\displaystyle A= \)\(\displaystyle
\begin{bmatrix} +2 + 0 + \lambda \\ +1 -\lambda +1
\\ +0 -2 +1 \\+1 + 1 + 0 \end{bmatrix} \) scegliendo come pivot primo pivot \(\displaystyle 2 \) e come secondo pivot \(\displaystyle -2 \) scambiando la terza riga con la seconda al fine di ottenere una matrice ridotta per gradini con pivot \(\displaystyle 2 e -2 \). Ho così ottenuto la matrice \(\displaystyle B'= \)\(\displaystyle
\begin{bmatrix} +2 + 0 + \lambda \\ +0 -2 +1
\\ +0 +0 +(1-\lambda) \\+0 + 0+ ( \frac{1-\lambda}{2} ) \end{bmatrix} \). Da qui ho capito che allora i casi da studiare per rispondere al punto 1) erano \(\displaystyle \lambda=0 \),\(\displaystyle \lambda=1 \),\(\displaystyle \lambda \notin \begin{Bmatrix} 0 , 1 \end{Bmatrix}\). Verificare per quali valori di \(\displaystyle \lambda \) il nucleo di f è diverso da zero significa dunque considerare la matrice \(\displaystyle B' \), sostituire in essa i valori appena trovati di \(\displaystyle \lambda \) e svolgere il sistema omogeneo associato \(\displaystyle N(f)=0 \). Ho ottenuto delle matrici complete dove ovviamente la matrice dei termini noti era tutta uguale a 0 ma bisognava ridurla per righe e risolvere il sistema omogeneo. Alla fine mi sono quindi trovato che il \(\displaystyle N(f)\notin 0 \) solo quando \(\displaystyle \lambda= 1 \) ed il nucleo di f \(\displaystyle = ( \frac{-t}{2}, \frac{t}{2},t). \). Punto 2) Determinare una base del nucleo di f significa trovare dei vettori linearmente indipendenti che soddisfino l'equazione \(\displaystyle AX=0 \). Quindi utilizzando \(\displaystyle \lambda=1 \) partendo dalla matrice ridotta per righe \(\displaystyle B' \) ho ottenuto una matrice \(\displaystyle B''= \)\(\displaystyle \begin{bmatrix} +2 + 0 + 1 \\ +0 -1 +\frac{1}{2}
\\ +0 +0 +0 \\+0 + 0 + 0 \end{bmatrix} \) ed essendo i vettori così ottenuti linearmente indipendenti sicuramente costituivano una base del nucleo di f. Quindi \(\displaystyle B(N)= v_1=(2,0,1),v_2=(0,-1,\frac{1}{2}) \).
Punto 3) Determinare una base dell'immagine di f significa considerare lo spazio generato dalle colonne di \(\displaystyle A \) ovvero ridurre la matrice \(\displaystyle B= A^t \). Quindi ho ottenuto utilizzando \(\displaystyle \lambda=1 \) la matrice \(\displaystyle B \)trasposta di \(\displaystyle A \) \(\displaystyle = \begin{bmatrix} +2 + 1 + 0 +1\\ +0 -1-2+1
\\ +1 +01 +1 +0 \end{bmatrix} \). Quindi una base dell'immagine di f è data dai vettori \(\displaystyle v_1=( 2,1,0,1),v_2=(0,-1,-2,1) \) perchè la matrice ridotta ottenuta presenta terza riga nulla. Ora mi chiedo, in base al teorema delle dimensioni non mi trovo bene nel calcolare le dimensioni dell'immagine e del nucleo per verificare di aver svolto bene l'esercizio, ma comunque quello che mi lascia perplesso è il fatto che l'immagine ha 2 vettori con 4 componenti mentre il nucleo ha 2 vettori con 3 componenti, quindi sto passando da \(\displaystyle R^3 \)con il nucelo ad \(\displaystyle R^4 \) con l'immagine e non so se possa essere giusto o meno. Detto ciò, i punti 4) 5) non saprei proprio svolgerli perchè non so se quando mi chiede di scegliere un \(\displaystyle \lambda \) a piacere posso scegliere solo i valori risultati dalla riduzione della matrice originaria e quindi quei valori relativi all'esercizio o posso scegliere ad esempio anche 2,3 non sò. Comunque ovviamente non chiedo di svolgere i punti 3 e 4 ma almeno di chiarirmi i passaggi fondamentali e cosa dovrei trovarmi in linea teorica. Grazie mille
Risposte
Sono anche io alle prese con questo stesso esercizio.. C'è qualcuno che potrebbe illuminarci? 
io bene o male ci sono riuscito..e mi sono trovato con la spiegazione..ti lascio questo sito http://www.science.unitn.it/~fontanar/d ... .pdf..sono riuscito a trovare un esercizio molto simile che sarebbe il n numero 8.10 già svolto..ti permette perfettamente di capire ogni volta in base al rango come si calcolano nucleo e immagine del vettore e non potrai sicuramente più sbagliare. Il punto 4) si risolve semplicemente assegnando un valore lambda e risolvendo il sistema (A|v), cioè affiancando v alla matrice completa e verificare quando il sistema risulta omogeneo o meno (e puoi verificarlo o riducendo la matrice completa e poi passare al sistema associato oppure in tre secondi verificando i ranghi della matrice A e quello della matrice completa A|v, se i ranghi sono uguali allora c'è una soluzione sia essa finita o infinita. se i ranghi sono diversi allora non c'è soluzione perchè il sistema è incompatibile). Non riesco però a svolgere l'ultimo punto
La prima cosa che si deve fare con un esercizio del genere è scriverla in forma matriciale.
In questo caso \(\displaystyle f\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & \lambda \\ 1 & -\lambda & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \).
È evidente che le ultime due righe sono linearmente indipendenti. Siccome il rango dello spazio delle righe è uguale a quello delle colonne posso usare le colonne invece che le righe per determinare quando c'è il rango massimo.
Suppongo che si abbia rango 2, allora \(\displaystyle \alpha C_2 + \beta C_3 = (2, 1, 0, 1)^t \). Ricavo il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases} \beta \lambda = 2 \\ -\alpha\lambda + \beta = 1 \\ -2\alpha +\beta = 0 \\ \alpha = 1 \end{cases} \)
Che si risolve facilmente
\(\displaystyle \begin{cases} 2\lambda = 2 \\ -\lambda + 2 = 1 \\ \beta = 2 \\ \alpha = 1 \end{cases} \)
\(\displaystyle \begin{cases} \lambda = 1 \\ -\lambda = -1 \\ \beta = 2 \\ \alpha = 1 \end{cases} \)
cioè l'unica soluzione è per \(\displaystyle \lambda = 1 \). Quindi hai sbagliato qualcosa.
In questo caso \(\displaystyle f\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & \lambda \\ 1 & -\lambda & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \).
È evidente che le ultime due righe sono linearmente indipendenti. Siccome il rango dello spazio delle righe è uguale a quello delle colonne posso usare le colonne invece che le righe per determinare quando c'è il rango massimo.
Suppongo che si abbia rango 2, allora \(\displaystyle \alpha C_2 + \beta C_3 = (2, 1, 0, 1)^t \). Ricavo il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases} \beta \lambda = 2 \\ -\alpha\lambda + \beta = 1 \\ -2\alpha +\beta = 0 \\ \alpha = 1 \end{cases} \)
Che si risolve facilmente
\(\displaystyle \begin{cases} 2\lambda = 2 \\ -\lambda + 2 = 1 \\ \beta = 2 \\ \alpha = 1 \end{cases} \)
\(\displaystyle \begin{cases} \lambda = 1 \\ -\lambda = -1 \\ \beta = 2 \\ \alpha = 1 \end{cases} \)
cioè l'unica soluzione è per \(\displaystyle \lambda = 1 \). Quindi hai sbagliato qualcosa.
Non ho ben capito a cosa ti riferisci
Per \(\lambda = 0\) la funzione ha kernel uguale a \(0\).
Si Si avevo notato, ma ho svolto diversamente perchè questo metodo non lo conosco, mi sono affidato alla teoria dei ranghi anche perchè penso che il mio professore questo voglia, mica sapresti aiutarmi a svolgere l'ultimo punto? Determinare l'immagine del vettore w? Ho scritto un nuovo post appositamente per quell'ultimo passaggio, vorrei accertarmi di aver fatto bene, e grazie anticipatamente sei stato gentilissimo.
Il punto 5 mi sembra piuttosto esplicito. Chiede di calcolare l'immagine di \(\displaystyle (1,1,1)^t \)Insomma è semplicemente \(\displaystyle \begin{pmatrix} 2 + \lambda \\ 1 - \lambda + 1 \\ -2 + 1 \\ 1+ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + \lambda \\ 2 - \lambda \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \). Insomma sostituisci \(\displaystyle x_1 \), \(\displaystyle x_2 \) e \(\displaystyle x_3 \) con \(\displaystyle 1 \).
L'avevo fatto dal principio ma pensavo fosse troppo semplice come cosa e quindi mi sono detto che non si poteva svolgere così..tutto questo perchè sul mio libro di testo non c'è un maledetto esempio fatto bene, tutto svolto alla cavolo saltando i passaggi fondamentali, comunque scusa per tutto e grazie veramente all'infinito per avermi aiutato, lunedì devo fare un esame con una tipologia di esercizio così e quindi ora so di saperlo svolgere quindi per me hai fatto un gran gesto, grazie ancora.
"akos070191":
L'avevo fatto dal principio ma pensavo fosse troppo semplice come cosa e quindi mi sono detto che non si poteva svolgere così..tutto questo perchè sul mio libro di testo non c'è un maledetto esempio fatto bene, tutto svolto alla cavolo saltando i passaggi fondamentali, comunque scusa per tutto e grazie veramente all'infinito per avermi aiutato, lunedì devo fare un esame con una tipologia di esercizio così e quindi ora so di saperlo svolgere quindi per me hai fatto un gran gesto, grazie ancora.
Mi accodo in toto al tuo messaggio
. Ps. Ma quel link che mi hai mandato è l'eserciziario della Carrara? Perchè non me lo fa aprire!
si,esercizi di algebra lineare carletta carrara
@akos070191
[ot]in futuro per la matrice in \(\LaTeX\), e renderla più leggibile, devi aggiungere nel codice anche il simbolo &, ovvero (usando il tuo esempio): \(\begin{bmatrix}
+2 & +0 & +\lambda \\
+1 & -\lambda & +1 \\
+0 & -2 & +1 \\
+1 & +1 & +0
\end{bmatrix}\)
di codice:
[/ot]
[ot]in futuro per la matrice in \(\LaTeX\), e renderla più leggibile, devi aggiungere nel codice anche il simbolo &, ovvero (usando il tuo esempio): \(\begin{bmatrix}
+2 & +0 & +\lambda \\
+1 & -\lambda & +1 \\
+0 & -2 & +1 \\
+1 & +1 & +0
\end{bmatrix}\)
di codice:
\begin{bmatrix}
+2 & +0 & +\lambda \\
+1 & -\lambda & +1 \\
+0 & -2 & +1 \\
+1 & +1 & +0
\end{bmatrix} [/ot]
"akos070191":
SVOLGIMENTO: Ho ridotto per righe la matrice \(\displaystyle A= \)\(\displaystyle
\begin{bmatrix} +2& + 0 &+ \lambda \\ +1 &-\lambda & +1
\\ +0 &-2 &+1 \\+1 &+ 1& + 0 \end{bmatrix} \) scegliendo come pivot primo pivot \(\displaystyle 2 \) e come secondo pivot \(\displaystyle -2 \) scambiando la terza riga con la seconda al fine di ottenere una matrice ridotta per gradini con pivot \(\displaystyle 2 e -2 \). Ho così ottenuto la matrice \(\displaystyle B'= \)\(\displaystyle
\begin{bmatrix} +2 &+ 0& + \lambda \\ +0 &-2 &+1
\\ +0 &+0 & +(1-\lambda) \\+0& + 0+ &( \frac{1-\lambda}{2} ) \end{bmatrix} \).
Perchè non si riduce la matrice fino ad ottenere un pivot anche nella terza colonna?
vabbè il terzo pivot sarebbe 1-lambda che è uguale a quello che c'è sotto quindi fondamentalmente non penso ce ne sia bisogno..qualora volessi ridurre la quarta riga ti basta utilizzare come pivot 1/2 e fare 1-lambda/2 -1/2che moltiplica (1-lambda)
Come ho fatto non è sempre necessario ridurre a scalini per trovare il rango. Comunque il rango è al massimo 3 e quelle due righe sono banalmente linearmente dipendenti.
"akos070191":
vabbè il terzo pivot sarebbe 1-lambda che è uguale a quello che c'è sotto quindi fondamentalmente non penso ce ne sia bisogno..qualora volessi ridurre la quarta riga ti basta utilizzare come pivot 1/2 e fare 1-lambda/2 -1/2che moltiplica (1-lambda)
Prima di farlo dovresti supporre \(\displaystyle 1-\lambda \neq 0 \).
"akos070191":
vabbè il terzo pivot sarebbe 1-lambda che è uguale a quello che c'è sotto quindi fondamentalmente non penso ce ne sia bisogno..qualora volessi ridurre la quarta riga ti basta utilizzare come pivot 1/2 e fare 1-lambda/2 -1/2che moltiplica (1-lambda)
"vict85":
Come ho fatto non è sempre necessario ridurre a scalini per trovare il rango. Comunque il rango è al massimo 3 e quelle due righe sono banalmente linearmente dipendenti.
È più che altro per essere certa di svolgere bene l'esercizio, perchè dalle slides del professore si legge che "se A è una matrice ridotta, allora il rango è dato dalle colonne non nulle di A.." Per questo dicevo di continuare con la riduzione. Capisco che non è necessario, ma rappresenta un errore?
L'importante penso sia che tu dia una motivazione al fatto che ti fermi in quel punto. Personalmente trovo sia più un errore dimenticarsi di porre le giuste condizioni di esistenza.
"vict85":
L'importante penso sia che tu dia una motivazione al fatto che ti fermi in quel punto. Personalmente trovo sia più un errore dimenticarsi di porre le giuste condizioni di esistenza.
Avevo però un forte dubbio. Mettiamo caso io stia studiando il caso \(\displaystyle \lamda=0 \), ottengo una matrice \(\displaystyle 3x3 \) che ha rango massimo cioè 3. A questo punto siccome l'applicazione lineare passa da \(\displaystyle R^3 ad R^4 \) quando mi vado a calcolare la dimensione del nucleo dirò : \(\displaystyle Dim(N(f))= n-rango(A) \). Ma non sono sicuro se devo usare come \(\displaystyle n \) il numero delle incognite della matrice ridotta ottenuta utilizzando \(\displaystyle K=0 \), oppure n=4 perchè in realtà la matrice di partenza è \(\displaystyle 4x3 \). Questo è un bel dubbio che mi è venuto ora.
Il rango è al massimo il minore tra le due dimensioni. D’altra parte il nucleo è un sottospazio del dominio ed è indipendente dallo spazio immagine scelto.
Scusate, adesso è venuto un altro dubbio sullo svolgimento anche a me.. Ma se trovo che $dim(N)=0$ , allora il nucleo è uguale a zero? Senza risolvere il sistema insomma. Perchè stavo cercando di capire lo svolgimento di un esercizio simile e per i valori di $\lambda$ trovati verifica il rango e poi a seconda di questo vede quanto vale la dimensione del nucleo..
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