Applicazione lineare.
Ragazzi questo è un esercizio d'esame uscito poco fa..ho provato a svolgerlo e vorrei sapere se ho eseguito i passaggi correttamente..se qualcuno mi potrebbe aiutare gliene sarei molto grato!!
Sia \(\displaystyle f:R^3 \longrightarrow R^4 \) l'applicazione lineare dipendente da un parametro \(\displaystyle\lambda \in R \)seguente:
\(\displaystyle f:\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \) \(\displaystyle := \) \(\displaystyle\begin{bmatrix} 2x_1+\lambda x_3 \\ x_1 - \lambda x_2 + x_3 \\ -2x_2 + x_3 \\ x_1 + x_2 \end{bmatrix} \).
1) Dire per quali valori di \(\displaystyle \lambda \) il nucleo di f è diverso da zero.
2) Determinare , se esiste, una base del nucleo di f.
3) determinare, se esiste, una base dell'immagine di f.
4) Dire se per qualche valori di \(\displaystyle \lambda \) il vettore \(\displaystyle v=(0,2,2,0)^t \) è nell'immagine di f.
5) Per una valore di \(\displaystyle \lambda \) scelto a piacere, determinare l'immagine del vettore \(\displaystyle w= (1,1,1)^t \).
SVOLGIMENTO: Ho ridotto per righe la matrice \(\displaystyle A= \)\(\displaystyle
\begin{bmatrix} +2 + 0 + \lambda \\ +1 -\lambda +1
\\ +0 -2 +1 \\+1 + 1 + 0 \end{bmatrix} \) scegliendo come pivot primo pivot \(\displaystyle 2 \) e come secondo pivot \(\displaystyle -2 \) scambiando la terza riga con la seconda al fine di ottenere una matrice ridotta per gradini con pivot \(\displaystyle 2 e -2 \). Ho così ottenuto la matrice \(\displaystyle B'= \)\(\displaystyle
\begin{bmatrix} +2 + 0 + \lambda \\ +0 -2 +1
\\ +0 +0 +(1-\lambda) \\+0 + 0+ ( \frac{1-\lambda}{2} ) \end{bmatrix} \). Da qui ho capito che allora i casi da studiare per rispondere al punto 1) erano \(\displaystyle \lambda=0 \),\(\displaystyle \lambda=1 \),\(\displaystyle \lambda \notin \begin{Bmatrix} 0 , 1 \end{Bmatrix}\). Verificare per quali valori di \(\displaystyle \lambda \) il nucleo di f è diverso da zero significa dunque considerare la matrice \(\displaystyle B' \), sostituire in essa i valori appena trovati di \(\displaystyle \lambda \) e svolgere il sistema omogeneo associato \(\displaystyle N(f)=0 \). Ho ottenuto delle matrici complete dove ovviamente la matrice dei termini noti era tutta uguale a 0 ma bisognava ridurla per righe e risolvere il sistema omogeneo. Alla fine mi sono quindi trovato che il \(\displaystyle N(f)\notin 0 \) solo quando \(\displaystyle \lambda= 1 \) ed il nucleo di f \(\displaystyle = ( \frac{-t}{2}, \frac{t}{2},t). \). Punto 2) Determinare una base del nucleo di f significa trovare dei vettori linearmente indipendenti che soddisfino l'equazione \(\displaystyle AX=0 \). Quindi utilizzando \(\displaystyle \lambda=1 \) partendo dalla matrice ridotta per righe \(\displaystyle B' \) ho ottenuto una matrice \(\displaystyle B''= \)\(\displaystyle \begin{bmatrix} +2 + 0 + 1 \\ +0 -1 +\frac{1}{2}
\\ +0 +0 +0 \\+0 + 0 + 0 \end{bmatrix} \) ed essendo i vettori così ottenuti linearmente indipendenti sicuramente costituivano una base del nucleo di f. Quindi \(\displaystyle B(N)= v_1=(2,0,1),v_2=(0,-1,\frac{1}{2}) \).
Punto 3) Determinare una base dell'immagine di f significa considerare lo spazio generato dalle colonne di \(\displaystyle A \) ovvero ridurre la matrice \(\displaystyle B= A^t \). Quindi ho ottenuto utilizzando \(\displaystyle \lambda=1 \) la matrice \(\displaystyle B \)trasposta di \(\displaystyle A \) \(\displaystyle = \begin{bmatrix} +2 + 1 + 0 +1\\ +0 -1-2+1
\\ +1 +01 +1 +0 \end{bmatrix} \). Quindi una base dell'immagine di f è data dai vettori \(\displaystyle v_1=( 2,1,0,1),v_2=(0,-1,-2,1) \) perchè la matrice ridotta ottenuta presenta terza riga nulla. Ora mi chiedo, in base al teorema delle dimensioni non mi trovo bene nel calcolare le dimensioni dell'immagine e del nucleo per verificare di aver svolto bene l'esercizio, ma comunque quello che mi lascia perplesso è il fatto che l'immagine ha 2 vettori con 4 componenti mentre il nucleo ha 2 vettori con 3 componenti, quindi sto passando da \(\displaystyle R^3 \)con il nucelo ad \(\displaystyle R^4 \) con l'immagine e non so se possa essere giusto o meno. Detto ciò, i punti 4) 5) non saprei proprio svolgerli perchè non so se quando mi chiede di scegliere un \(\displaystyle \lambda \) a piacere posso scegliere solo i valori risultati dalla riduzione della matrice originaria e quindi quei valori relativi all'esercizio o posso scegliere ad esempio anche 2,3 non sò. Comunque ovviamente non chiedo di svolgere i punti 3 e 4 ma almeno di chiarirmi i passaggi fondamentali e cosa dovrei trovarmi in linea teorica. Grazie mille
Sia \(\displaystyle f:R^3 \longrightarrow R^4 \) l'applicazione lineare dipendente da un parametro \(\displaystyle\lambda \in R \)seguente:
\(\displaystyle f:\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \) \(\displaystyle := \) \(\displaystyle\begin{bmatrix} 2x_1+\lambda x_3 \\ x_1 - \lambda x_2 + x_3 \\ -2x_2 + x_3 \\ x_1 + x_2 \end{bmatrix} \).
1) Dire per quali valori di \(\displaystyle \lambda \) il nucleo di f è diverso da zero.
2) Determinare , se esiste, una base del nucleo di f.
3) determinare, se esiste, una base dell'immagine di f.
4) Dire se per qualche valori di \(\displaystyle \lambda \) il vettore \(\displaystyle v=(0,2,2,0)^t \) è nell'immagine di f.
5) Per una valore di \(\displaystyle \lambda \) scelto a piacere, determinare l'immagine del vettore \(\displaystyle w= (1,1,1)^t \).
SVOLGIMENTO: Ho ridotto per righe la matrice \(\displaystyle A= \)\(\displaystyle
\begin{bmatrix} +2 + 0 + \lambda \\ +1 -\lambda +1
\\ +0 -2 +1 \\+1 + 1 + 0 \end{bmatrix} \) scegliendo come pivot primo pivot \(\displaystyle 2 \) e come secondo pivot \(\displaystyle -2 \) scambiando la terza riga con la seconda al fine di ottenere una matrice ridotta per gradini con pivot \(\displaystyle 2 e -2 \). Ho così ottenuto la matrice \(\displaystyle B'= \)\(\displaystyle
\begin{bmatrix} +2 + 0 + \lambda \\ +0 -2 +1
\\ +0 +0 +(1-\lambda) \\+0 + 0+ ( \frac{1-\lambda}{2} ) \end{bmatrix} \). Da qui ho capito che allora i casi da studiare per rispondere al punto 1) erano \(\displaystyle \lambda=0 \),\(\displaystyle \lambda=1 \),\(\displaystyle \lambda \notin \begin{Bmatrix} 0 , 1 \end{Bmatrix}\). Verificare per quali valori di \(\displaystyle \lambda \) il nucleo di f è diverso da zero significa dunque considerare la matrice \(\displaystyle B' \), sostituire in essa i valori appena trovati di \(\displaystyle \lambda \) e svolgere il sistema omogeneo associato \(\displaystyle N(f)=0 \). Ho ottenuto delle matrici complete dove ovviamente la matrice dei termini noti era tutta uguale a 0 ma bisognava ridurla per righe e risolvere il sistema omogeneo. Alla fine mi sono quindi trovato che il \(\displaystyle N(f)\notin 0 \) solo quando \(\displaystyle \lambda= 1 \) ed il nucleo di f \(\displaystyle = ( \frac{-t}{2}, \frac{t}{2},t). \). Punto 2) Determinare una base del nucleo di f significa trovare dei vettori linearmente indipendenti che soddisfino l'equazione \(\displaystyle AX=0 \). Quindi utilizzando \(\displaystyle \lambda=1 \) partendo dalla matrice ridotta per righe \(\displaystyle B' \) ho ottenuto una matrice \(\displaystyle B''= \)\(\displaystyle \begin{bmatrix} +2 + 0 + 1 \\ +0 -1 +\frac{1}{2}
\\ +0 +0 +0 \\+0 + 0 + 0 \end{bmatrix} \) ed essendo i vettori così ottenuti linearmente indipendenti sicuramente costituivano una base del nucleo di f. Quindi \(\displaystyle B(N)= v_1=(2,0,1),v_2=(0,-1,\frac{1}{2}) \).
Punto 3) Determinare una base dell'immagine di f significa considerare lo spazio generato dalle colonne di \(\displaystyle A \) ovvero ridurre la matrice \(\displaystyle B= A^t \). Quindi ho ottenuto utilizzando \(\displaystyle \lambda=1 \) la matrice \(\displaystyle B \)trasposta di \(\displaystyle A \) \(\displaystyle = \begin{bmatrix} +2 + 1 + 0 +1\\ +0 -1-2+1
\\ +1 +01 +1 +0 \end{bmatrix} \). Quindi una base dell'immagine di f è data dai vettori \(\displaystyle v_1=( 2,1,0,1),v_2=(0,-1,-2,1) \) perchè la matrice ridotta ottenuta presenta terza riga nulla. Ora mi chiedo, in base al teorema delle dimensioni non mi trovo bene nel calcolare le dimensioni dell'immagine e del nucleo per verificare di aver svolto bene l'esercizio, ma comunque quello che mi lascia perplesso è il fatto che l'immagine ha 2 vettori con 4 componenti mentre il nucleo ha 2 vettori con 3 componenti, quindi sto passando da \(\displaystyle R^3 \)con il nucelo ad \(\displaystyle R^4 \) con l'immagine e non so se possa essere giusto o meno. Detto ciò, i punti 4) 5) non saprei proprio svolgerli perchè non so se quando mi chiede di scegliere un \(\displaystyle \lambda \) a piacere posso scegliere solo i valori risultati dalla riduzione della matrice originaria e quindi quei valori relativi all'esercizio o posso scegliere ad esempio anche 2,3 non sò. Comunque ovviamente non chiedo di svolgere i punti 3 e 4 ma almeno di chiarirmi i passaggi fondamentali e cosa dovrei trovarmi in linea teorica. Grazie mille
Risposte
Si significa che è pari al vettore nullo
"vict85":
Il rango è al massimo il minore tra le due dimensioni. D’altra parte il nucleo è un sottospazio del dominio ed è indipendente dallo spazio immagine scelto.
No forse non mi sono spiegato bene
Volevo sapere se n=3 o n=4 (ordine a cui far riferimento).
Quella del dominio della applicazione lineare.
Grazie mille! D
D
"violetmari":
Scusate, adesso è venuto un altro dubbio sullo svolgimento anche a me.. Ma se trovo che $dim(N)=0$ , allora il nucleo è uguale a zero? [...]
Se \(\displaystyle \dim N = 0 \) allora \(\displaystyle N \cong \mathbb{R}^0 = \{ 0 \} \) (spesso questo sottospazio è segnato semplicemente con \(\displaystyle 0 \)). Quindi \(\displaystyle f \) è la mappa costante \(\displaystyle f\mathbf{x} = 0 \). Banalmente \(\displaystyle \ker f = \{ \mathbf{x}\in M \mid f\mathbf{x} = 0\} = M \). Insomma, semplicemente usando la definizione.
Scusatemi per l'ennesima volta.. Oggi ho l'esame e sono abbastanza preoccupata! Stavo vedendo un altro esercizio, un'applicazione lineare da $\R^4->\R^3$ in cui compare il parametro $\lambda$ e mi chiede per quali valori di $\lambda$ l'immagine dell'applicazione inclusa in \R^3 è un sottospazio proprio. Ho pensato di risolverla così: passo alla matrice associata, la riduco per righe e studio i casi a seconda dei valori di $\lambda$... E poi devo porre i sistemi che ottengo =0 per vedere se è un sottospazio proprio o improprio? Grazie!!
Ps. Ma nel caso in cui le colonne della matrice di partenza non siano linearmente indipendenti, allora nom esisterà neppure una base dell'immagine?
Ps. Ma nel caso in cui le colonne della matrice di partenza non siano linearmente indipendenti, allora nom esisterà neppure una base dell'immagine?
"violetmari":per sottospazio proprio intendi non banale, ovvero \( \operatorname{im}(f) \neq \Bbb{R}^3 \) e \( \operatorname{im}(f) \neq \{0_{\Bbb{R}^3}\} \)?? Se si, tutto si risolve valutando \(\dim_\Bbb{R}( \operatorname{im}(f))\)
Scusatemi per l'ennesima volta.. Oggi ho l'esame e sono abbastanza preoccupata! Stavo vedendo un altro esercizio, un'applicazione lineare da $\R^4->\R^3$ in cui compare il parametro $\lambda$ e mi chiede per quali valori di $\lambda$ l'immagine dell'applicazione inclusa in \R^3 è un sottospazio proprio.
Nel caso specifico dell'esercizio significa chiedersi per quali valori di \(\lambda\) il rango è minore di \(3\).
"garnak.olegovitc":per sottospazio proprio intendi non banale, ovvero \( \operatorname{im}(f) \neq \Bbb{R}^3 \) e \( \operatorname{im}(f) \neq \{0_{\Bbb{R}^3}\} \)?? Se si, tutto si risolve valutando \(\dim_\Bbb{R}( \operatorname{im}(f))\)
[quote="violetmari"]Scusatemi per l'ennesima volta.. Oggi ho l'esame e sono abbastanza preoccupata! Stavo vedendo un altro esercizio, un'applicazione lineare da $\R^4->\R^3$ in cui compare il parametro $\lambda$ e mi chiede per quali valori di $\lambda$ l'immagine dell'applicazione inclusa in \R^3 è un sottospazio proprio.
[/quote]Il problema è che non so neanche io cosa si intende.. :/ comunque, immagino che sia come dici tu.
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