App. lineari , cambio base composizione e diagonalizzazione

[lambda1]

Salve a tutti
Ho qualche dubbio su come procedere nel seguente esercizio:

Siano $ f $ e $ g $ app.lineari da $ R^3 -> R^3 $ definite da:
$ f((1 , 1 , 1)) = (1 ,1,2)$
$f((0,1,0)) = (0,1,0)$
$f((1,0,2))=(1,1,1) $
$g(x,y,z)=(x+z,y+z,2x+3z)$

1) scrivere la matrice A di $ f@ g $ rispetto alla base canonica di $ R^3 $
2) determinare autovalori e autovettori della matrice A
3) dire se A è diagonalizzabile

i miei dubbi sono sulla parte 1 dell'esercizio.
per risolverlo (non so è giusto oppure se sto per scrivere boiate mostruose :V) sono partito dicendo:
base canonica $R^3 -> e_1= (1,0,0) , e_2=(0,1,0) , e_3=(0,0,1) $
e poi ho provato a esprimere $e_1 e_2 e_3$ in funzione di $v_1=(1 , 1 , 1),v_2=(0,1,0),v_3=(1,0,2)$
ottenendo:
$e_1 = 2v_1 - 2v_2 -v_3$
$e_2 = v_2$
$e_3 = v_3+v_2-v_1$
ho poi calcolato
$f(e_1)= ( ( 1 ),( -1 ),( 3 ) ) ,f(e_2)=((0),(1),(0)),f(e_3)=((0),(1),(-1))$
$g(e_1)=((1),(0),(2)),g(e_2)=((0),(1),(0)),g(e_3)=((1),(1),(3))$
e li ho messi come colonne di matrice ottenendo:

$ F=( ( 1 , 0 , 0 ),( -1 , 1 , 1 ),( 3 , 0 , -1 ) ) $
$ G=( ( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 1 ),( 2 , 0 , 3 ) ) $
ho poi calcolato A come moltiplicazione matriciale di F e G
è esatto il procedimento oppure ho toppato?
poi il resto è easy ma senza la sicurezza nel primo passo tutto il resto va a farsi benedire

[Maci86]

Perfetto! Bravo Lambda!