Ancora un esercizio in $V_3$ e vettori
Ho un altro esercizio per cui vorrei chiedere una mano:
SOL:
] io ho impostato il punto 1 come segue:
- svolto il calcolo di $x ∧ c = d$ mi esce che ho il sistema
$x_1=3-x_3$
$x_2=x_3-x_1$
$x_2=h-x_1$
(per essere compatibile il sistema necessito di) $h=x_3$ (ultime due equazioni), considerando $x=(x_1,x_2,x_3)$
- a questo punto ho pensato di usare il determinante formale del prodotto misto $a ∧ b * x=0$ (sostituiendo ad h il valore x_3 trovato in precedenza, cosi da avere complanarità.
però mi esce $x_3^2=12/3$ cioè $x_3=+-2$ ma il risultato è solo $+2$ nella soluzione del testo!
] per il secondo punto ho preso il valore di $h=2=x_3$ che dovrebbe essere quello corretto e sostituito nel sistema ottenuto da $x ∧ c = d$ così da avere i valori di x1,2,3.
Il dubbio è quindi il mio procedimento è corretto? E soprattuto perché io ho anche h=-2 come soluzione (che per l'eserciziario non è compendiata)? non capisco dove sbaglio
Dati i vettori:
a = hi − j + 3k, b = i − 2j + k, c = i − j − k, d = i + 3j − hk, h ∈ R,
1. stabilire per quali valori di h esistono dei vettori x complanari ad a e a b e tali che
x ∧ c = d.
2. Determinare, quando è possibile, le componenti di x rispetto alla base B = (i, j, k).
SOL:
] io ho impostato il punto 1 come segue:
- svolto il calcolo di $x ∧ c = d$ mi esce che ho il sistema
$x_1=3-x_3$
$x_2=x_3-x_1$
$x_2=h-x_1$
(per essere compatibile il sistema necessito di) $h=x_3$ (ultime due equazioni), considerando $x=(x_1,x_2,x_3)$
- a questo punto ho pensato di usare il determinante formale del prodotto misto $a ∧ b * x=0$ (sostituiendo ad h il valore x_3 trovato in precedenza, cosi da avere complanarità.
però mi esce $x_3^2=12/3$ cioè $x_3=+-2$ ma il risultato è solo $+2$ nella soluzione del testo!
] per il secondo punto ho preso il valore di $h=2=x_3$ che dovrebbe essere quello corretto e sostituito nel sistema ottenuto da $x ∧ c = d$ così da avere i valori di x1,2,3.
Il dubbio è quindi il mio procedimento è corretto? E soprattuto perché io ho anche h=-2 come soluzione (che per l'eserciziario non è compendiata)? non capisco dove sbaglio
Risposte
Provato a verificare che \(h=-2\) è una soluzione errata? 
Io non vedo errori di metodo!
Io non vedo errori di metodo!
Ammetto di non averci provato a suo tempo, però ho un dubbio, se -2 esce come soluzione non deve per forza essere corretta? Cioè non può essere errata se il metodo è giusto! No?
Il metodo è giusto, ma -2 è una soluzione errata. Infatti risulta seguendo quanto scritto:
$x_3 = h = -2$
$x_1 = 5$
$x_2 = -7$
$a = (-2, -1, 3)$
$b = (1,-2,1)$
$a^^b*x = (5, 5, 5)*(5,-7,-2)= -20$
Il problema è che non è vero che da quelle equazioni si desume $x_3 = h$, perchè c'è un errore nella scrittura del sistema $x ^^ c = d$. L'effettivo sistema è:
$-x_2 + x_3 = 1$
$x_1 + x_3 = 3$
$x_1 + x_2 = h$
Se alla seconda equazione sottraggo la prima ottengo $x_1+x_2 = 2$ e quindi per confronto con la terza deve essere $h=2$. Con h = 2, svolgendo tutti i calcoli, ottengo alla fine
$x_1 = 1$
$x_2 = 1$
$x_3 = 2$
che soddisfano le equazioni precedenti e anche l'equazione $a^^b*x = 0$
$a^^b*x = (5, 1, -3)*(1,1,2)=0$
$x_3 = h = -2$
$x_1 = 5$
$x_2 = -7$
$a = (-2, -1, 3)$
$b = (1,-2,1)$
$a^^b*x = (5, 5, 5)*(5,-7,-2)= -20$
Il problema è che non è vero che da quelle equazioni si desume $x_3 = h$, perchè c'è un errore nella scrittura del sistema $x ^^ c = d$. L'effettivo sistema è:
$-x_2 + x_3 = 1$
$x_1 + x_3 = 3$
$x_1 + x_2 = h$
Se alla seconda equazione sottraggo la prima ottengo $x_1+x_2 = 2$ e quindi per confronto con la terza deve essere $h=2$. Con h = 2, svolgendo tutti i calcoli, ottengo alla fine
$x_1 = 1$
$x_2 = 1$
$x_3 = 2$
che soddisfano le equazioni precedenti e anche l'equazione $a^^b*x = 0$
$a^^b*x = (5, 1, -3)*(1,1,2)=0$
Ah ecco non mi ero accorto di quell'errore, mi era quindi solo andato di chiappe uscisse il 2 come numero perché era errata una equazione... strano XD
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