Ancora spazi metrici

[jJjjJ1]

Ho questo esercizio:

Sia $x \in R^n$ e sia $Y \subset R^n$ chiuso. Mostrare che esiste $y \in Y$ tale che $d(x,y) = d(x, Y)$

Io ho fatto così:

Sia $d = d(x, Y) = i n f_{ y \in Y } d(x, y )$ allora $\forall n \in N$ esiste $y_n \in Y$ tale che $ d <= d( x, y_n ) < d + 1/n $ Osservo che la successione $( y_n )$ è contenuta nel chiuso $ \{ y \in Y | d <= d( x, y ) <= d + 2 \} = C$ che è anche limitato, dunque è compatto e quindi compatto per successioni. Allora esiste $\{y_{n_k}\}$ sottosuccessione convergente a $y \in C$

Osservo che $ \forall r > 0 $ esiste $k_0 \in N$ tale che per ogni $k > k_0$

$d <= d( x, y) <= d(x, y_{n_k}) + d( y_{n_k}, y ) < d + 1/n_k + r$

il che implica passando al limite che $d( x, y ) = d$

E' corretto? C'è un modo per non usare la compattezza per successioni, cioè vedete un modo per crearsi una successione di Cauchy su $R^n$ e usare la completezza di Y ?

[Rigel1]

Se in più richiedi la convessità di \(Y\) allora è possibile costruire una successione di Cauchy, utilizzando l'identità del parallelogramma (e la dimostrazione rimane la stessa anche in spazi di Hilbert).
In generale, credo non sia possibile costruire direttamente una successione di Cauchy (o, comunque, potrebbe essere molto complicato): la successione minimizzante potrebbe infatti spostarsi da una parte all'altra dell'insieme.
Per capirci, pensa al caso in cui \(Y\) sia il complementare di un disco aperto, e prendi \(x\) leggermente spostato rispetto al centro.