Ancora geometria assiomatica
A voi: 
1. Siano l, n due rette nel disco di Klein non parallele, di poli P(l), P(n), e intersecanti il suo bordo γ in ∑,∑’ e Ω,Ω’ rispettivamente. Sia t la perpendicolare ad l ed n (retta per i due poli), A, A’ i punti di intersezione di t con l, n rispettivamente, M punto medio del segmento AA’, Q intersezione dei prolungamenti di l ed n. Allora, detta m la retta per Q ed M, A’ è il simmetrico di A rispetto ad m. Si dimostra inoltre (vedi lezione del 25 marzo) che, nel caso in cui m non sia un diametro di γ, <-∑’Ω’-> e <-∑Ω-> passano per P(m) (polo di m).
Da questa dimostrazione si ricava poi un algoritmo per costruire, dato un punto, il suo simmetrico ad una retta m che non sia un diametro. Completare entrambi i ragionamenti nel caso m sia un diametro.
2. Siano l,m due rette, P un punto ad esse non incidente, e su l siano dati quattro punti A – B – C – D. Siano A’ – B’ – C’ – D’ i relativi punti ottenuti per prospettività su m rispetto a P. Dimostrare, tramite il teorema dei seni sui triangoli ACP, BDP, BCP, ADP che il birapporto è invariante per prospettività: (AB,CD) = (A’B’,C’D’).
Se qualcuno obiettasse: “Non trovo corretto usare nell’ambito della geometria iperbolica un risultato che dipende dall’assioma delle parallele, come il teorema dei seni”, come risponderesti?
1. Siano l, n due rette nel disco di Klein non parallele, di poli P(l), P(n), e intersecanti il suo bordo γ in ∑,∑’ e Ω,Ω’ rispettivamente. Sia t la perpendicolare ad l ed n (retta per i due poli), A, A’ i punti di intersezione di t con l, n rispettivamente, M punto medio del segmento AA’, Q intersezione dei prolungamenti di l ed n. Allora, detta m la retta per Q ed M, A’ è il simmetrico di A rispetto ad m. Si dimostra inoltre (vedi lezione del 25 marzo) che, nel caso in cui m non sia un diametro di γ, <-∑’Ω’-> e <-∑Ω-> passano per P(m) (polo di m).
Da questa dimostrazione si ricava poi un algoritmo per costruire, dato un punto, il suo simmetrico ad una retta m che non sia un diametro. Completare entrambi i ragionamenti nel caso m sia un diametro.
2. Siano l,m due rette, P un punto ad esse non incidente, e su l siano dati quattro punti A – B – C – D. Siano A’ – B’ – C’ – D’ i relativi punti ottenuti per prospettività su m rispetto a P. Dimostrare, tramite il teorema dei seni sui triangoli ACP, BDP, BCP, ADP che il birapporto è invariante per prospettività: (AB,CD) = (A’B’,C’D’).
Se qualcuno obiettasse: “Non trovo corretto usare nell’ambito della geometria iperbolica un risultato che dipende dall’assioma delle parallele, come il teorema dei seni”, come risponderesti?
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