Algoritmo di estrazione di una base
Come faccio a farlo quando ho tanti generatori? Per esempio:
$(1,-2,0,0),(0,-1,1,-1),(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)$
Come faccio a vedere quali sono combinazioni lineari tra loro?
A occhio vedo che i primi tre sono linearmente indipendenti, ma gli altri? C'è un metodo?
Scusate ma non riesco a scriverli in colonna. Non capisco perchè
$(1,-2,0,0),(0,-1,1,-1),(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)$
Come faccio a vedere quali sono combinazioni lineari tra loro?
A occhio vedo che i primi tre sono linearmente indipendenti, ma gli altri? C'è un metodo?
Scusate ma non riesco a scriverli in colonna. Non capisco perchè
Risposte
Se parti dal fondo, "a occhio", ti accorgi di avere la base canonica di \(\mathbb{R}^4\), quindi in questo caso sei a cavallo. 
Altrimenti, usi i vettori assegnati come righe di una matrice e la riduci a scalini con l'algoritmo di Gauss; quando l'algoritmo termina, i vettori indipendenti (che formano la base del sottospazio generato dai vettori assegnati) sono quelli della matrice iniziale che corrispondono alle righe non nulle della matrice a scalini.
Altrimenti, usi i vettori assegnati come righe di una matrice e la riduci a scalini con l'algoritmo di Gauss; quando l'algoritmo termina, i vettori indipendenti (che formano la base del sottospazio generato dai vettori assegnati) sono quelli della matrice iniziale che corrispondono alle righe non nulle della matrice a scalini.
L'avevo già scritto io: qualcuno copia, cancella e poi incolla 
In questo caso è piuttosto facile. E' sufficiente osservare che i vettori:
$(1,0,0,0)^T,(0,1,0,0)^T,(0,0,1,0)^T,(0,0,0,1)^T$
formano la base canonica di $mathbb{R^4}$.
I rimanenti due sono sicuramente combinazioni lineari di questi 4.
In generale dovresti costruire la matrice che ha per colonne i sei vettori dati e calcolarne il rango. Una cosa
a volte alquanto faticosa.
[ot][size=150]MI PIACE RENDERMI RIDICOLO INSERENDO TANTI OT COLORATI !!! [/size][/ot]
In questo caso è piuttosto facile. E' sufficiente osservare che i vettori:
$(1,0,0,0)^T,(0,1,0,0)^T,(0,0,1,0)^T,(0,0,0,1)^T$
formano la base canonica di $mathbb{R^4}$.
I rimanenti due sono sicuramente combinazioni lineari di questi 4.
In generale dovresti costruire la matrice che ha per colonne i sei vettori dati e calcolarne il rango. Una cosa
a volte alquanto faticosa.
[ot][size=150]MI PIACE RENDERMI RIDICOLO INSERENDO TANTI OT COLORATI !!! [/size][/ot]
Avendo una base composta dai primi due vettori, devo completarla ad una di $\RR^4$ quindi ho imposto i quattro vettori oltre i due che ho già.
Considerando che in teoria non dovrei saper fare le matrici visto che questo è il capitolo prima, opterei in una soluzione più terra terra xD
Mi ricordo che devo verificare a ruota se $e_1\inspan(u_1,u_2)$, $e_2\inspan(e_1,u_1,u_2)$ ecc...
Con $u_1, u_2$ i primi due vettori che ho messo.
Nella soluzione mi dice che $e_2=1/2(u_1-e_1)$ e quindi è eliminabile. Però come faccio ad accorgermene? C'è un metodo o altro? Così come sono, a meno che uno non sia multiplo dell'altro, non mi accorgerei mai della dipendenza. In questo caso mi va bene che ho imposto i quattro generatori, ma se fossero stati altri quattro vettori random? So cazzi così...
Considerando che in teoria non dovrei saper fare le matrici visto che questo è il capitolo prima, opterei in una soluzione più terra terra xD
Mi ricordo che devo verificare a ruota se $e_1\inspan(u_1,u_2)$, $e_2\inspan(e_1,u_1,u_2)$ ecc...
Con $u_1, u_2$ i primi due vettori che ho messo.
Nella soluzione mi dice che $e_2=1/2(u_1-e_1)$ e quindi è eliminabile. Però come faccio ad accorgermene? C'è un metodo o altro? Così come sono, a meno che uno non sia multiplo dell'altro, non mi accorgerei mai della dipendenza. In questo caso mi va bene che ho imposto i quattro generatori, ma se fossero stati altri quattro vettori random? So cazzi così...
Se vuoi una soluzione più terra-terra, allora la migliore è usare gli occhi per constatare che non conviene partire dai primi vettori, ma dagli ultimi.
Inoltre, un utile regola pratica da tenere a mente è la seguente: se due vettori hanno uno la \(i\)-esima coordinata \(\neq 0\) e l'altro la \(i\)-esima coordinata \(=0\), allora essi sono necessariamente indipendenti.
Inoltre, un utile regola pratica da tenere a mente è la seguente: se due vettori hanno uno la \(i\)-esima coordinata \(\neq 0\) e l'altro la \(i\)-esima coordinata \(=0\), allora essi sono necessariamente indipendenti.
Ah quindi a occhio direi che l'ultimo e il secondo sono dipendenti così come il quarto col secondo e il terzo col primo visto che moltiplicandoli con una costante, torna fuori uno dei due.
Un metodo per estrarne una è il seguente:
Prendi \(\displaystyle \mathbf{v}_1 \) e lo consideri come il primo elemento della base.
Prendi \(\displaystyle \mathbf{v}_2 \). Se è linearmente indipendente dal primo vettore lo inserisci come secondo elemento della base altrimenti lo scarti.
...
Al passo \(\displaystyle i \), se la base non è già completa, prendi \(\displaystyle \mathbf{v}_i \) e vedi se è linearmente indipendente dai vettori selezionati finora. Se lo è lo includi altrimenti lo scarti.
Questo è un procedimento automatico, anche se abbastanza inefficiente. Specialmente se calcoli i determinanti tutte le volte. Comunque in caso di dubbio funziona bene.
Nel tuo caso hai che \(\displaystyle (1,-2,0,0) \) è linearmente indipendente da \(\displaystyle (0,-1,1,-1) \) perché non sono proporzionali. \(\displaystyle (1,0,0,0) \) è visibilmente linearmente indipendente da entrambi. Il quarto vettore, insieme al terzo generano il primo, quindi scarti il terzo vettore. Il primo, il terzo e il quinto vettore non possono generare il secondo e quindi una base è formata dai primi 3 e dal 5.
Comunque in genere procedere a occhio è la migliore guida. Una volta selezionato ad occhio qualcosa ti basta calcolare una determinante per dimostrare di avere ragione.
EDIT: mi sono accorto che il metodo di Gauss può essere usato per estrarre una base. Comunque questo è un metodo piuttosto intuitivo che può essere usato insieme al ragionamento per evitare di usare Gauss.
Prendi \(\displaystyle \mathbf{v}_1 \) e lo consideri come il primo elemento della base.
Prendi \(\displaystyle \mathbf{v}_2 \). Se è linearmente indipendente dal primo vettore lo inserisci come secondo elemento della base altrimenti lo scarti.
...
Al passo \(\displaystyle i \), se la base non è già completa, prendi \(\displaystyle \mathbf{v}_i \) e vedi se è linearmente indipendente dai vettori selezionati finora. Se lo è lo includi altrimenti lo scarti.
Questo è un procedimento automatico, anche se abbastanza inefficiente. Specialmente se calcoli i determinanti tutte le volte. Comunque in caso di dubbio funziona bene.
Nel tuo caso hai che \(\displaystyle (1,-2,0,0) \) è linearmente indipendente da \(\displaystyle (0,-1,1,-1) \) perché non sono proporzionali. \(\displaystyle (1,0,0,0) \) è visibilmente linearmente indipendente da entrambi. Il quarto vettore, insieme al terzo generano il primo, quindi scarti il terzo vettore. Il primo, il terzo e il quinto vettore non possono generare il secondo e quindi una base è formata dai primi 3 e dal 5.
Comunque in genere procedere a occhio è la migliore guida. Una volta selezionato ad occhio qualcosa ti basta calcolare una determinante per dimostrare di avere ragione.
EDIT: mi sono accorto che il metodo di Gauss può essere usato per estrarre una base. Comunque questo è un metodo piuttosto intuitivo che può essere usato insieme al ragionamento per evitare di usare Gauss.
Ho capito. Si, beh, è l'allenamento dell'andare a occhio che mi serve.
Grazie a tutti!
Grazie a tutti!
[xdom="gugo82"]Chiuso per violazione sistematica del regolamento da parte dell'utente ciromario.
Se una regola viene violata (in maniera sistematica, tra l'altro), i moderatori devono prendere provvedimenti proprio per non cadere nelle storture che ciromario segnala in alcuni suoi OT (le quali, alla lunga, logorano il clima di civiltà che vige su questo forum e fuori di esso).
D'altra parte, la moderazione stenta a capire perché l'utente ciromario, che a parole si mostra così avverso alle sistematiche violazioni del "senso del decoro" e delle "norme", si senta in dovere di violare altrettanto sistematicamente il regolamento del forum, equivalente in una community virtuale di quelle "norme" e di quel "senso del decoro" che egli stesso cerca di proteggere.
L'unica spiegazione possibile è che il suo sia solo un atteggiamento "trolleggiante", senza alcun fine se non quello di rompere il clima di serenità che regna in queste pagine.
Ciò non verrà permesso. Mai.[/xdom]
Se una regola viene violata (in maniera sistematica, tra l'altro), i moderatori devono prendere provvedimenti proprio per non cadere nelle storture che ciromario segnala in alcuni suoi OT (le quali, alla lunga, logorano il clima di civiltà che vige su questo forum e fuori di esso).
D'altra parte, la moderazione stenta a capire perché l'utente ciromario, che a parole si mostra così avverso alle sistematiche violazioni del "senso del decoro" e delle "norme", si senta in dovere di violare altrettanto sistematicamente il regolamento del forum, equivalente in una community virtuale di quelle "norme" e di quel "senso del decoro" che egli stesso cerca di proteggere.
L'unica spiegazione possibile è che il suo sia solo un atteggiamento "trolleggiante", senza alcun fine se non quello di rompere il clima di serenità che regna in queste pagine.
Ciò non verrà permesso. Mai.[/xdom]
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