Algebra....polinomi...

[adriano e daje!!!]

determinare se esistono(e in caso affermativo trovare)tre polinomi a(x),b(x),c(x) appartenenti a Q[x] tali che

a(x)(x-2)(x-1) + b(x)(x-3)(x-1) + c(x)(x-3)(x-2) = x^2006

nn riesco a risolverlo...mi potreste aiutare???
grazie!!!!

[ficus2002]

"adriano e daje!!!":determinare se esistono(e in caso affermativo trovare)tre polinomi a(x),b(x),c(x) appartenenti a Q[x] tali che

a(x)(x-2)(x-1) + b(x)(x-3)(x-1) + c(x)(x-3)(x-2) = x^2006

nn riesco a risolverlo...mi potreste aiutare???
grazie!!!!

I polinomi $a,b,c$ esistono perchè $gcd((x-2)(x-1),(x-3)(x-1),(x-3)(x-2))=1$.

Osserva che
$(x-2)-(x-3)=1$
$(x-3)(x-2)=(x-1)(x-4)+2$
di conseguenza:
$-1/2(x-4)(x-2)(x-1) + 1/2(x-4)(x-3)(x-1) + 1/2(x-3)(x-2) = 1$
da cui
$-1/2x^2006(x-4)(x-2)(x-1) + 1/2x^2006(x-4)(x-3)(x-1) + 1/2x^2006(x-3)(x-2) = x^2006$.

[Sk_Anonymous]

Non ho ben capito cosa hai fatto...

[ficus2002]

"duo":Non ho ben capito cosa hai fatto...

Allora $(x-2)-(x-3)=1$, quindi $(x-2)(x-1)-(x-3)(x-1)=(x-1)$. Eseguendo la divisione tra i polinomi $(x-3)(x-2)$ e $(x-1)$ ottieni $(x-3)(x-2)=(x-1)(x-4)+2$, cioè
$-1/2(x-1)(x-4)+1/2(x-3)(x-2)=1$.
Poichè $(x-2)(x-1)-(x-3)(x-1)=(x-1)$, sostituendo nella uguaglianza precedente, ottieni
$-1/2(x-4)(x-2)(x-1) + 1/2(x-4)(x-3)(x-1) + 1/2(x-3)(x-2) = 1$
moltiplica per $x^2006$ e hai finito:
$-1/2x^2006(x-4)(x-2)(x-1) + 1/2x^2006(x-4)(x-3)(x-1) + 1/2x^2006(x-3)(x-2) = x^2006$