Algebra vettoriale

[berto9387]

Salve Ragazzi non riesco a risolvere questo esercizio, non so proprio come fare. Ho provato a sommare, ho cercato di ricondurmi a cose note, ma niente non arrivo da nessuna parte potete aiutarmi?

Sono dati nello spazio 4 punti A, B, C, D non complanari. Indichiamo con P e Q i punti medi dei segmenti orientati AC e BD rispettivamente. Dimostrare, usando il calcolo vettoriale, che se $|AD|=|BC|$ e $|AB|=|CD|$ allora si ha $PQperpendicolare
AC$ e $PQperpendicolareBD$.
Scusate ragazzi non sono riuscito a fare il simbolo di perpendicolare

[Stickelberger]

Siano $v=B-A$, $w=D-C$ e $u=A-C$. Allora le due relazioni date dicono che
$\langle v,v \rangle =\langle w,w\rangle$ e $\langle v+u, v+u\rangle =\langle w-u,w-u\rangle$.

Sottraiamo le due relazioni. Usando la bilinearita’ del prodotto scalare troviamo che
$\langle v+w,u\rangle=0$ e quindi, visto che $\langle v+w,v-w\rangle=0$, anche $\langle v+w,v-w-u\rangle=0$.
Queste due identita’ dicono che il segmento $PQ$ e’ perpendicolare ai segmenti $AC$ e a $BD$.