[Algebra Lineare]Sistema lineare e soluzioni non banali
Salve, ho un esercizio che mi chiede di determinare i valori del parametro reale K per i quali il sistema possiede soluzioni non banali.
$\{(kx-2y+z=0),(x-y+kz=0):}$
Per determinare i valori di k, ho pensato di porre=0 il determinante del sistema.
Il problema è che un minore di ordine 2 si annulla per k=2, mentre un altro per k=1/2.
Dato che l'esercizio è a scelta multipla, le risposte sono le seguenti:
A: k=2; B: k=1/2; C: per ogni valore di k in R; D: k= $+-1$
Quindi i valori che vengono a me sono in ben due risposte (mentre la risposta giusta è una).
Ho forse sbagliato con la condizione di porre il determinante uguale a zero?
Spero possiate aiutarmi, e nel frattempo vi ringrazio immensamente!
$\{(kx-2y+z=0),(x-y+kz=0):}$
Per determinare i valori di k, ho pensato di porre=0 il determinante del sistema.
Il problema è che un minore di ordine 2 si annulla per k=2, mentre un altro per k=1/2.
Dato che l'esercizio è a scelta multipla, le risposte sono le seguenti:
A: k=2; B: k=1/2; C: per ogni valore di k in R; D: k= $+-1$
Quindi i valori che vengono a me sono in ben due risposte (mentre la risposta giusta è una).
Ho forse sbagliato con la condizione di porre il determinante uguale a zero?
Spero possiate aiutarmi, e nel frattempo vi ringrazio immensamente!
Risposte
Per k=2 il sistema è non banale in quanto ammette come soluzione $(x, x, 0)$, per $k=1/2$ viene $(0, y, 2y)$, per tutti gli altri valori di k il sitema è indeterminato con soluzioni, quindi, non banali, perciò la risposta esatta è C
Grazie infinite per l'aiuto! Quindi il fatto di porre il determinante del sistema uguale a zero è corretto oppure non serve a niente?
In questo caso è inutile perché hai un sistema omogeneo e non ti viene chiesto il numero di incognite libere.
Nei sistemi omogenei il rango della matrice completa e quello dell'incompleta non possono essere diversi, se il sistema fosse stato non omogeneo allora il calcolo del determinante sarebbe stato indispensabile, come è indispensabile se vuoi sapere in ogni caso il numero di incognite libere.
Nei sistemi omogenei il rango della matrice completa e quello dell'incompleta non possono essere diversi, se il sistema fosse stato non omogeneo allora il calcolo del determinante sarebbe stato indispensabile, come è indispensabile se vuoi sapere in ogni caso il numero di incognite libere.
"@melia":
Per k=2 il sistema è non banale in quanto ammette come soluzione $(x, x, 0)$, per $k=1/2$ viene $(0, y, 2y)$, per tutti gli altri valori di k il sitema è indeterminato con soluzioni, quindi, non banali, perciò la risposta esatta è C
La risposta è $C$ semplicemente per il fatto che:
1) il rango della matrice dei coefficienti è $\leq 2$ : ne segue che il sistema non può essere determinato (non può, cioè, avere
un'unica soluzione).
2) il sistema non può essere impossibile (il vettore nullo è sempre soluzione di un sistema omogeneo).
Il sistema è, quindi, indeterminato per ogni valore di $k$.
"@melia":
Per k=2 il sistema è non banale in quanto ammette come soluzione $(x, x, 0)$, per $k=1/2$ viene $(0, y, 2y)$, per tutti gli altri valori di k il sitema è indeterminato con soluzioni, quindi, non banali, perciò la risposta esatta è C
Quello che voglio dire è che non serve a niente guardare cosa succede per $k=2$ e $k=1/2$.
Un altro modo per risolvere l'esercizio è il seguente:
le due equazioni rappresentano due piani passanti per l'origine in $RR^3$;
questi piani si intersecano lungo una retta, anch'essa passante per l'origine
oppure sono coincidenti.
In entrambi i casi si hanno infiniti punti di intersezione.
Il sistema è dunque indeterminato, per ogni $k$.
le due equazioni rappresentano due piani passanti per l'origine in $RR^3$;
questi piani si intersecano lungo una retta, anch'essa passante per l'origine
oppure sono coincidenti.
In entrambi i casi si hanno infiniti punti di intersezione.
Il sistema è dunque indeterminato, per ogni $k$.
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