[Algebra Lineare]Indipendenza lineare al variare di un param
Ho risolto il seguente esercizio di Algebra Lineare:
Si stabilisca per quali valori del parametro reale h i vettori di $R^4: u1(1,2h,3,1), u2(h,1,1,1), u3(-1,3,h,0)$ sono linearmente indipendenti. L'esercizio è a scelta multipla, e le risposte sono le seguenti: $A) h!=2; B)Mai; C)solo h=2; D)h!=-1$.
Se provo ad estrarre un minore di ordine 3 dalla matrice 3x4 che ha per righe proprio i vettori u1,u2 e u3, e ne pongo il det $!=0$ ottengo $h!=2$ ed un altro valore che però non è compreso fra le risposte. Effettivamente, per $h!=2$ i vettori risultano essere L.I. Se, però, estraggo un altro minore di ordine 3 dalla matrice e faccio la stessa cosa col determinante, ottengo altri valori di h (uno di questi, oltretutto, è $h!=-1$, e ciò contribuisce a mandarmi proprio nel pallone!). Eseguire un'eliminazione di Gauss può servire a qualcosa?
Si stabilisca per quali valori del parametro reale h i vettori di $R^4: u1(1,2h,3,1), u2(h,1,1,1), u3(-1,3,h,0)$ sono linearmente indipendenti. L'esercizio è a scelta multipla, e le risposte sono le seguenti: $A) h!=2; B)Mai; C)solo h=2; D)h!=-1$.
Se provo ad estrarre un minore di ordine 3 dalla matrice 3x4 che ha per righe proprio i vettori u1,u2 e u3, e ne pongo il det $!=0$ ottengo $h!=2$ ed un altro valore che però non è compreso fra le risposte. Effettivamente, per $h!=2$ i vettori risultano essere L.I. Se, però, estraggo un altro minore di ordine 3 dalla matrice e faccio la stessa cosa col determinante, ottengo altri valori di h (uno di questi, oltretutto, è $h!=-1$, e ciò contribuisce a mandarmi proprio nel pallone!). Eseguire un'eliminazione di Gauss può servire a qualcosa?
Risposte
Per prima cosa mettiamo i tre vettori in una matrice:
$A = ((1,h,-1),(2h,1,3),(3,1,h),(1,1,0))$
a questo punto possiamo anche procedere con Gauss.
Preferisco invece calcolarmi il determinante di una sottomatrice 3x3.
Mi accorgo che il determinante della sottomatrice ottenuta considerando
la prima, seconda e quarta riga, cioè
$M = ((1,h,-1),(2h,1,3),(1,1,0))$ ,
ha determinante uguale a $h - 2$.
Quindi se $h \ne 2$ i tre vettori sono linearmente indipendenti.
Non resta, quindi, che vedere cosa accade per $h = 2$:
la matrice in questo caso è
$A = ((1,2,-1),(4,1,3),(3,1,2),(1,1,0))$
si vede subito che la prima colonna risulta essere uguale alla somma
delle altre due: per $h=2$ i tre vettori di $RR^4$ sono linearmente
dipendenti.
In definitiva:
se $h \ne 2$ i tre vettori sono lin. indipendenti;
se $h = 2$ i tre vettori sono lin. dipendenti.
$A = ((1,h,-1),(2h,1,3),(3,1,h),(1,1,0))$
a questo punto possiamo anche procedere con Gauss.
Preferisco invece calcolarmi il determinante di una sottomatrice 3x3.
Mi accorgo che il determinante della sottomatrice ottenuta considerando
la prima, seconda e quarta riga, cioè
$M = ((1,h,-1),(2h,1,3),(1,1,0))$ ,
ha determinante uguale a $h - 2$.
Quindi se $h \ne 2$ i tre vettori sono linearmente indipendenti.
Non resta, quindi, che vedere cosa accade per $h = 2$:
la matrice in questo caso è
$A = ((1,2,-1),(4,1,3),(3,1,2),(1,1,0))$
si vede subito che la prima colonna risulta essere uguale alla somma
delle altre due: per $h=2$ i tre vettori di $RR^4$ sono linearmente
dipendenti.
In definitiva:
se $h \ne 2$ i tre vettori sono lin. indipendenti;
se $h = 2$ i tre vettori sono lin. dipendenti.
In alternativa puoi calcolare i determinanti delle altre due sottomatrici 3x3.
Trovi i seguenti determinanti:
$-2h^3+8h$
e
$-2h^2+h+6$ .
L'unico valore che annulla tutti e tre i determinanti è $h=2$.
Dunque abbiamo indipendenza lineare se e solo se il parametro $h$
assume valori diversi da 2, ovvero se $h \ne 2$.
Ti è chiaro il procedimento?
Chiaramente è bene evitare di calcolare tutti e tre i determinanti!
Trovi i seguenti determinanti:
$-2h^3+8h$
e
$-2h^2+h+6$ .
L'unico valore che annulla tutti e tre i determinanti è $h=2$.
Dunque abbiamo indipendenza lineare se e solo se il parametro $h$
assume valori diversi da 2, ovvero se $h \ne 2$.
Ti è chiaro il procedimento?
Chiaramente è bene evitare di calcolare tutti e tre i determinanti!
Chiaro? Chiarissimo!! Ancora una volta, non so davvero come ringraziarti!!:)
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