[Algebra Lineare] Operatori bilineari
Avendo $f(X) = x^2-3xy+4y^2$ con $^tX = [x, y, z]$, devo determinare la matrice C associata(è l'esercizio a pag 191, n°2 del Lang).
Io ho fatto così:
-Ho
$C = [[a,b,c,d],[e,f,g,h]]$
-Applico quindi l'operatore
$f(x,y,z) = ^t[x,y,z] [[a,b,c,d],[e,f,g,h]] [x,y,z]
-Ottengo che
$x^2-3xy+4y^2 = ax^2 + by^2 + cz + dxy + ex^2 + fy^2 + gz + hxy $
-quindi la matrice C è
$C = [[1,4,0,-3],[1,4,0,-3]]$
C'è speranza sia giusto???
Ciauz
Io ho fatto così:
-Ho
$C = [[a,b,c,d],[e,f,g,h]]$
-Applico quindi l'operatore
$f(x,y,z) = ^t[x,y,z] [[a,b,c,d],[e,f,g,h]] [x,y,z]
-Ottengo che
$x^2-3xy+4y^2 = ax^2 + by^2 + cz + dxy + ex^2 + fy^2 + gz + hxy $
-quindi la matrice C è
$C = [[1,4,0,-3],[1,4,0,-3]]$
C'è speranza sia giusto???
Ciauz
Risposte
è così sbagliato?
Ciauz
Ciauz
Ma $C$ non dovrebbe essere una matrice 3x3? 
"amel":
Ma $C$ non dovrebbe essere una matrice 3x3?
ho provato a rifare i conti e mi viene
$[[1,4,0],[1,4,0],[1,4,0]]$
Ma vorrei sapere se sono sulla buona strada
Ciauz
Io sono stato abituato a chiamarle forme quadratiche..
Ma, ho capito di cosa tu stia parlando..?non ho il Lang..
Se ho capito allora devi calcolare la matrice associata alla forma bilineare B(x,y) associata alla quadratica.. e la matrice associata sarà (B(e_i,e_j)_(ij))
Sto dicendo bene? boh non mi ricordo
Ma, ho capito di cosa tu stia parlando..?non ho il Lang..
Se ho capito allora devi calcolare la matrice associata alla forma bilineare B(x,y) associata alla quadratica.. e la matrice associata sarà (B(e_i,e_j)_(ij))
Sto dicendo bene? boh non mi ricordo
non mi è molto chiaro il tuo messaggio...magari sono io che capisco poco....
Ciauz
Ciauz
ciao a tutti e due innanzitutto...
allora quella che hai scritto
lucas è esattamente una form quadratica...e la matrice associata è
$C((1,-3//2,0),(-3//2,4,0),(0,0,0))$
allora quella che hai scritto
lucas è esattamente una form quadratica...e la matrice associata è
$C((1,-3//2,0),(-3//2,4,0),(0,0,0))$
"miuemia":
ciao a tutti e due innanzitutto...
allora quella che hai scritto
lucas è esattamente una form quadratica...e la matrice associata è
$C((1,-3//2,0),(-3//2,4,0),(0,0,0))$
mi spieghi come la hai calcolata?
Ciauz
Sia V un K-spazio vettoriale e sia f una forma bilineare simmetrica. Allora l'applicazione
q:V->K, con v-> f(v,v)=q(v) è detta forma quadratica associata ad f.
Ora, un passo indietro, due parole sulle matrici delle forme bilineari:
Sia B=(v1,...,vn) una base finita per V, allora la matrice di f rispetto a B è la matrice
M(f,B)=(aij) con aij=f(vi,vj) dove i,j=1,...,n
Nel tuo esempio, visto che non specifichi la Base, si intende la Base Standard (o Canonica).
Quindi ciò che ha scritto miuemia è la matrice corretta.
Nel tuo esempio: f(X)=x^2-3xy+4y^2
puoi pensare gli elementi della matrice associata in questo modo:
prima riga della matrice (elementi): xx xy xz
seconda riga della matrice: yx yy yz
terza riga della matrice: zx zy zz
vedi che le z sono tutte zero mentre x^2 è ovviamente xx, quindi 1... e così via... occhio con xy!
scusa per la mia notazione ma è il mio primo messaggio quindi devo guardarci dietro bene a come scriverle...
Ciao.
q:V->K, con v-> f(v,v)=q(v) è detta forma quadratica associata ad f.
Ora, un passo indietro, due parole sulle matrici delle forme bilineari:
Sia B=(v1,...,vn) una base finita per V, allora la matrice di f rispetto a B è la matrice
M(f,B)=(aij) con aij=f(vi,vj) dove i,j=1,...,n
Nel tuo esempio, visto che non specifichi la Base, si intende la Base Standard (o Canonica).
Quindi ciò che ha scritto miuemia è la matrice corretta.
Nel tuo esempio: f(X)=x^2-3xy+4y^2
puoi pensare gli elementi della matrice associata in questo modo:
prima riga della matrice (elementi): xx xy xz
seconda riga della matrice: yx yy yz
terza riga della matrice: zx zy zz
vedi che le z sono tutte zero mentre x^2 è ovviamente xx, quindi 1... e così via... occhio con xy!
scusa per la mia notazione ma è il mio primo messaggio quindi devo guardarci dietro bene a come scriverle...
Ciao.
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