Algebra lineare: kernel e immagine

[little_butterfly1]

Ciao a tutti!!
Sto cercando di preparare un esame ma non capisco bene alcune cose...
data un'applicazione lineare T, come faccio a trovare il valore di Ker(T) , Im (T), dim Ker(T) e dim Im(T)?
Esempio:
se ho T appartenente a Hom(R^7,R^5), come trovo Ker(T) , Im (T), dim Ker(T) e dim Im(T)?
Aiutatemi vi prego!!![/chessgame]

[Domè891]

Il Ker(T) è l'insieme dei vettori i cui trasformati vanno a finire nel vettore nullo.
Per questo basta porre uguale a $0$ tutte le coordinate del vettore trasformato.
per trovare la dimensione, devi vedere il rango della matrice associata al Ker...
Poi pre trovare la dim Im, usi la regola che dim(f)=dim(ker)+dim(Im)

ciao

[little_butterfly1]

perfetto,grazie,però avrei bisogno di esempi concreti.
se, come già detto, T appartiene a Hom(R^7,R^5), come faccio a sapere quanto vale dim Ker(T) e dim Im(T)?

Ho poi un'ulteriore problema:ù
data un'applicazione lineare, ad es T(x,y,z)=(-x+2y-z, 2x+y+z, x+3y, 3x-y+2z) con T:R^3-->R^4,
come faccio a trovare una base per T, una base per Im(T) e una base per Ker(T)?

GRAZIE[/spoiler]

[franced]

"little_butterfly":data un'applicazione lineare, ad es T(x,y,z)=(-x+2y-z, 2x+y+z, x+3y, 3x-y+2z) con T:R^3-->R^4,
come faccio a trovare una base per T, una base per Im(T) e una base per Ker(T)?

Per il ker (nucleo) dell'applicazione basta risolvere il sistema lineare

$\{ (-x+2y-z = 0),(), (2x+y+z = 0),(), (x+3y = 0),(), (3x-y+2z = 0) :}$